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第十章动态规划;§1多阶段决策过程最优化问题举例;§1多阶段决策过程最优化问题举例;§1多阶段决策过程最优化问题举例;第三阶段:有三个始点C1,C2,C3,终点有D1,D2,对始点和终点进行分析和讨论分别求C1,C2,C3到D1,D2的最短路径问题:;第二阶段:有4个始点B1,B2,B3,B4,终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3的最短路径问题:;第一阶段:只有1个始点A,终点有B1,B2,B3,B4。对始点和终点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题:;以上计算过程及结果,可用图2表示,可以看到,以上方法不仅得到了从A到D的最短路径,同时,也得到了从图中任一点到E的最短路径。;一、根本概念:
1、阶段k:表示决策顺序的离散的量,阶段可以按时间或空间划分。
2、状态sk:能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数量,也可以是字符,数量状态可以是连续的,也可以是离散的。
3、决策xk:从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所在状态的函数,记为xk(sk)。
决策允许集合Dk(sk):在状态sk下,允许采取决策的全体。
4、策略Pk,n(sk):从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列,称k子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。
5、状态转移方程sk+1=Tk(sk,xk):某一状态以及该状态下的决策,与下一状态之间的函数关系。;6、阶段指标函数rk(sk,xk):从状态sk出发,选择决策xk所产生的第k阶段指标。
过程指标函数Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn):从状态sk出发,选择决策xk,xk+1,…,xn所产生的过程指标。动态规划要求过程指标具有可别离性,即Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn)=rk(sk,xk)+Vk+1,n(sk+1,xk+1,…,xn)称指标具有可加性,或Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn)=rk(sk,xk)×Vk+1,n(sk+1,xk+1,…,xn)称指标具有可乘性。
二、根本方程:
最优指标函数fk(sk):从状态sk出发,对所有的策略Pk,n,过程指标Vk,n的最优值,即;对于可加性指标函数,上式可以写为
上式中“opt〞表示“max〞或“min〞。对于可乘性指标函数,上式可以写为
以上式子称为动态规划最优指标的递推方程,是动态规划的根本方程。
终端条件:为了使以上的递推方程有递推的起点,必须要设定最优指标的终端条件,一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(sn+1)=0。;三、最优化原理
作为整个过程的最优策略具有如下性质:
不管在此最优策略上的某个状态以前的状
态和决策如何,对该状态来说,以后的所有决
策必定构成最优子策略。就是说,最优策略的
任意子策略都是最优的。;一、资源分配问题
?例2.某公司拟将某种设备5台,分配给所属的甲、乙、丙三个工厂。各工厂获得此设备后,预测可创造的利润如下表所示,问这5台设备应如何分配给这3个工厂,使得所创造的总利润为最大?;解:将问题按工厂分为三个阶段,甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设
sk=分配给第k个厂至第3个厂的设备台数〔k=1、2、3〕。
xk=分配给第k个设备台数。
s1=5,
并有
从sk与xk的定义,可知
以下我们从第三阶段开始计算。;第三阶段:s3=x3;;第一阶段:s1=5,s2=s1-x1=5-x1;二、背包问题
设有n种物品,第i种物品数量为ni,第i种物品每件重量为wi公斤,第i种物品每件价值为ci元。现有一只可装载重量为W公斤的背包,求各种物品应各取多少件放入背包,使背包
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