初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法(1).pdfVIP

初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？

2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c①，有一组整数解x，y，则此方程的一切整数解

00

可以表示为，其中t=0，±1，±2，±3，…．

4、求11x+15y=7的整数解．

5、求方程6x+22y=90的非负整数解．

6、求方程7x+19y=213的所有正整数解．

7、求方程37x+107y=25的整数解．

8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．

10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买

了多少只？

11、求下列不定方程的整数解：

（1）72x+157y=1；

（2）9x+21y=144；

（3）103x﹣91y=5．

12、求下列不定方程的正整数解：

（1）3x﹣5y=19；

（2）12x+5y=125．

13、求下列不定方程的整数解：

（1）5x+8y+19z=50；

（2）39x﹣24y+9z=78．

14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．

15、求不定方程组的正整数解．

答案与评分标准初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？

考点：二元一次方程的应用。

分析：通过理解题意，我们可以知道本题中存在一个等量关系，即钱数和买橡皮铅笔花去的数目是相等的，根据这

一等量关系，可以列出方程求解作答．

解答：解：设小张买了x块橡皮，y支铅笔，

则根据题意得方程：

3x+11y=50．

这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，

所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．

因为铅笔每支1角（1分），所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4

支，

即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．

若y=0，则x=，不是整数，不合题意；

若y=1，则x=13，是整数，符合题意；

若y=2，则x=，不是整数，不合题意；

若y=3，则x=，不是整数，不合题意；

若y=4，则x=2，符合题意．

所以，这个方程有两组正整数解，即或；

答：5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．

故答案为：2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．

点评：本题解题的关键在于，找到题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系，列出方程求解作答，另外应特别

注意，实际问题实际分析．

2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．

考点：解二元一次方程。

分析：根据原方程，xy的关系可以得到x、y的一个等式关系，由于方程的解是正整数，则只要y取自然数，x取比

y大2的数即可，原方程有无数组解．

解答：解：我们知道：3﹣1=2，4﹣2=2，5﹣3=2，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是

，

其中n可以取一切自然数．

因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．

点评：本题考查了二元一次方程的解和求不定方程的整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程

的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另

一个未知数的值．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c①，有一组整数解x，y，则此方程的一切整数解

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可以