安徽大学2019-2020学年第二学期微积分II考试期末试卷(A卷).pdfVIP

安徽大学2019-2020学年第二学期微积分II期末考试试卷(A卷)

I填空题(4小题×3分=12分)

1.已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,3),M(x,y,z)四点共面,则M(x,y,z)点的轨迹方程为.

2.已知f(x,y)=(3+ecosxsin2y)2siny+(2x+1)y+1,则偏导数f′(0,0)为.

x

∂u

23

3.数量场u=xyz在点P(0,0,0)处沿方向a=(2,1,2)的方向导数=.

∂a

P

23

4.数量场u=xyz在点P(1,1,1)处的梯度gradu|P=.

II计算题(6小题×9分=54分)

5.设x=eyz+z2,求dz

6.计算二重积分I=sinxdxdy,其中D是由x=π,y=x,y=0所围闭区域.

Dx

222222222

7.计算三重积分I=(x+y+z)dxdydz,其中Ω是由锥面z=x+y和球面x+y+z=R所围立体.

Ω

8.记第二型曲线积分I=xdy−ydx,二元函数P(x,y)=−y,Q(x,y)=x.(1)当(x,y)=(0̸,0)时,求∂P,∂Q;

Lx2+y2x2+y2x2+y2∂y∂x

(2)若正向封闭曲线L所围区域不包含原点,求I;(3)若原点在正向封闭曲线L所围闭区域内部,求I.

22222

9.计算第一型曲线积分I=zds,其中L为球面x+y+z=a(a0)和平面x+y+z=0的交线.

L

10.计算第二型曲线积分I=Lzdx+xdy+ydz,其中曲线L为平面x+y+z=1和三个坐标面的交线,从x轴的正

向看去定向为逆时针.

III应用题(2小题×8分=16分)

11.半径为1的球置于O−xyz坐标系的原点O处,即该球面与原点O相切,球心在(0,0,1).记该球面为Ω,最高点为N(0,0,2).

(1)求球面Ω的方程;(2)设P点坐标为(1,−1,0),直线NP与球面Ω的交点为Q,求点Q的坐标;

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(3)设球面Ω上