苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第六章 空间向量与立体几何 6.1.2 空间向量的数量积.docVIP

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6.1.2空间向量的数量积

A级必备知识基础练

1.在正四面体ABCD中,E,F分别是AC,AD的中点,则BC与

A.30° B.60°

C.120° D.150°

2.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b等于()

A.1 B.2 C.3 D.4

3.(江苏南通检测)在正四面体PABC中,棱长为2,且E是棱AB的中点,则PE·

A.-1 B.1 C.3 D.7

4.(多选题)如图所示,已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()

A.2BA·AC

C.2FG·AC

5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1,且∠A1AD=∠A1AB=60°,∠DAB=45°,则BD1的长等于()

A.2-1 B.

C.3-2

6.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是()

A.(AA1+AD

B.A1C·(

C.AD

D.正方体的体积为|AB·

7.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为.?

8.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则a,b=.?

9.如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段,又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.

B级关键能力提升练

10.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么()

A.AE

B.AE

C.AE

D.AE·

11.如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,AB与AC的夹角为60°,则|

A.13 B.13

C.13 D.13

12.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()

A.3 B.2

C.1 D.3

13.如图,已知在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=.?

第3题图

14.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,E,F分别为棱AB,AD的中点,则|AB+BC|=,|BC-

第4题图

15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则DC·AP的取值范围是

16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.?

17.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,试计算:

(1)BC·

(2)BF·

C级学科素养创新练

18.如图所示,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.

(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;

(2)求DM,

参考答案

6.1.2空间向量的数量积

1.C由题意,可得EF=

所以BC,EF=BC,

2.A∵p⊥q且|p|=|q|=1,

∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.

3.A

如图,PABC为正四面体,则∠APC=∠BPC=∠APB=60°.因为E是棱AB的中点,

所以PE=12

所以PE·BC=12(PA+PB

4.BC2BA·AC=2a2cos120°=-a2,2AD·BD=2DA·DB=2a2cos60°=a2,2FG·AC=AC·

5.C如图,因为BD

所以|BD1|2=|AD-AB+AA1|2=|AD|2+|AB|2+|AA1|2-2AB

6.AB如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA

A1C·(A

AD1与A1B的夹角是

正方体的体积为|AB||AA1||

7.32e1∵(e1+e2)·e1=e12+e1

∴向量e1+e2在向量e1上的投影向量为(e1+

8.60°由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,所以a·b=12|b|2,代入上面两个式子中的任意一个,得|a|=|b|,所以cosa,b=a

9.解因为CA⊥AB,BD⊥AB,二面角的度数为60°,

所以CA,

因为CD=CA+AB+

所以|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB

=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2|CA||BD|cosCA,

=62+42+82+2×6×8×-12=68,

所以|CD|=217,