苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第六章 空间向量与立体几何 6.3.3 空间角的计算.docVIP

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6.3.3空间角的计算

A级必备知识基础练

1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则下列结论一定正确的是()

A.α=θ B.α=π-θ

C.cosθ=|cosα| D.cosα=|cosθ|

2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若a,n=2π3

A.2π3 B.π3 C.π

3.在一个锐二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为()

A.156 B.155 C.15

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.?

5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于.?

6.如图所示,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求直线A1B与平面A1B1CD所成角的大小.

8.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF的中点.

(1)设P是CE上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

B级关键能力提升练

9.在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()

A.58 B.

C.78 D.

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,则EF与BD1所成的角是()

A.90° B.60°

C.30° D.0°

11.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a,则AC1与侧面ABB1A1所成的角的度数为.?

12.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.?

13.(江苏盐城期中)已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线,C为底面圆上一点,且AC∥OB,OP=AB=2OA,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.?

14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,在线段AB上是否存在一点E,使二面角C-DE-C1的余弦值为63

C级学科素养创新练

15.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于点E,交AC于点F.

(1)求证:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;

(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

参考答案

6.3.3空间角的计算

1.Dα=θ或α=π-θ,且α∈0,π2,因而cosα=|cosθ|.

2.C∵a,n=2π3,∴直线l与法向量n所在直线所成角为π3,∴

3.A由(0

知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为15

4.9

由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).

∴A1B

∴cosA1B

故异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为9

5.2

设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),

则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC

设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),

则n⊥DB,n⊥

所以有n

令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).

设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,

则sinθ=|cosn,DC|=|

6.解取BD的中点O,连接OA,OC.∵AB=AD=2,BC=BD=CD=2,∴AO⊥BD,CO⊥BD,AO=1,CO=3

又AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴AO⊥CO.即OA,OC,BD两两垂直.

以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,

则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),

∴BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3

∴cosBA,CD

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为2

7.解(方法一)如图,连接BC1,与B1C交于点O,连接A1O.

∵BC1⊥B1C,A1B1