2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：05　第四章　探究课　斐波那契数列的常见性质.docxVIP

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斐波那契数列的常见性质

1．数列的数学模型

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第3项起，每一个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{Fn}称为“斐波那契数列”，递推公式：F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2)．

2．斐波那契数列的性质

(1)求和问题：①Sn＝an＋2－1；

②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n；

③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1.

[证明]①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an＋1－an)＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1.

②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n.

③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1.

(2)平方和问题：a12+a22+a

i=1

＝anan＋1.

[证明]斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则a12＝a2a

a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a

a32＝a3(a4－a2)＝a3a4－a2a

…，

an2＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－anan－

所以a12+a22+a

即

i=1

＝anan＋1.

[典例](1)(多选)已知数列{an}为斐波那契数列，Sn为其前n项和，则下列结论正确的是()

A．a6＝8

B．S9＝54

C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a2024

D．a1

(2)同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an(n≥3)．若a2026＝a，那么数列{an}的前2024项的和为________．

(1)ACD(2)a－1[(1)对于A，写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；对于B，S9＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＝88，故B错误；对于C，由性质a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，故C正确；对于D，由性质a12+a22+a32

(2)由a1＝a1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，a4＝a5－a3，…，a2024＝a2025－a2023，

可得a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝a2024＋a2025－a2＝a2026－1＝a－1.故数列{an}的前2024项的和为a－1.]

斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2025是斐波那契数列中的第________项．

2026[由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2025＝a2026－a2024，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2025＝a2026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2025是斐波那契数列中的第2026项．]