2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：09　第四章　4.3　4.3.1　第2课时　等比数列的性质及应用.docxVIP

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第2课时等比数列的性质及应用

[学习目标]1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算)

2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理)

(教师用书)

首先，我们先来看下面两道小题：

(1)若{an}为等比数列，a3＝2，a7＝8，则a4a6＝________．

(2)若{an}为等比数列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，则a7＋a8＋a9＝________．

大家试着做一做，你会发现我们可以用基本量a1，q完成计算，但计算过程比较麻烦，等比数列“继承”了指数函数的特点，计算量大，如果我们掌握一定的技巧，会不会更容易解决问题呢？

[讨论交流]

问题1．等比数列有哪些性质？

问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1等比数列的性质

探究问题1类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？

[提示]类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.

推导过程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1.

所以am·an＝a12qm＋n-2，akal＝a12qk

因为m＋n＝k＋l，所以aman＝akal.

[新知生成]

1．推广的等比数列的通项公式

{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．

2．等比数列项的运算性质

在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．

(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ak

(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋

3．由等比数列构造(衍生)新数列

(1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．

(2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，1an，{

(3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与anbn也都是等比数列，公比分别为pq

【教用·微提醒】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz.

(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．

(3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，….

(4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2

[典例讲评]1．(1)在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，则an＝________．

(2)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝8，则log2a2＋log2a14＝________．

(3)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________．

[思路引导]利用等比数列的性质，整体代换求解．

(1)12n-8(2)2(3)12[(1)由a7＝a5·q2得q2＝14.因为an＞0，所以q

所以an＝a5·qn-5＝8×12n-5＝

(2)在正项等比数列{an}中，因为a4a8a12＝8，

所以a4a8a12＝a83＝

所以a8＝2，log2a2＋log2a14＝log2(a2a14)

＝log2(a82)

(3)易知{anbn}为等比数列，

则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，

即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12.]

【教用·备选题】已知{an}为等比数列．

(1)若{an}满足a2a4＝12，求a1a

(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；

(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

[解](1)在等比数列{an}中，∵a2a4＝12

∴a32＝a1a5＝a2a4

∴a1a32

(2)由等比数列的性质，化简条件得

a62+2

即(a6＋a8)2＝49，

∵an＞0，

∴a6＋a8＝7.

(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10.

应用等比数列性质的解题策