2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：11　第四章　4.3　4.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质及应用.docxVIP

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第2课时等比数列前n项和的性质及应用

[学习目标]1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算)

2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)

(教师用书)

远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题，文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味．题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？

[讨论交流]

问题1．等比数列前n项和有哪些性质？

问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1等比数列前n项和的性质

探究问题在等比数列{an}中，你能否用Sm，Sn来表示Sm＋n?

[提示]思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.

思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.

[新知生成]

1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：

(1)在其前2n项中，S偶S奇

(2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝a1+a2n+1q1--q＝a1+a2

2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．

3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn．

【教用·微提醒】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列．

【链接·教材例题】

例9已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．

[证明]当q＝1时，

Sn＝na1，

S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，

S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，

所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1.

当q≠1时，Sn＝a1

S2n－Sn＝a11-q2n1-q-

S3n－S2n＝a11-q3n1-q-a11-q2n

所以S2n-SnS

因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.

[典例讲评]1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值；

(2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数．

[解](1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1，

由已知得a

②÷①得1＋qn＝54，即qn＝14

把③代入①得a11-q

∴S3n＝a11-q3n

法二：∵{an}为等比数列，显然公比q≠－1，

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，

∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，

即(60－48)2＝48(S3n－60)，∴S3n＝63.

法三：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝14

∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×142

(2)法一：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．

由已知a1＝1，q≠1，有

1-q

由②÷①，得q＝2，

∴1-4n1-4＝85，4n＝256，∴

故公比为2，项数为8.

法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋an＝a1q＋a3q＋…＋an－1q＝(a1＋a3＋…＋an－1)q＝S奇·q，

∴q＝S偶S奇＝17085＝2.又Sn＝85＋

由Sn＝a11-qn1-

∴2n＝256，∴n＝8.∴公比q＝2，项数n＝8.

[母题探究]

1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．

[解]法一：因为{an}为等比数列，且公比q≠－1，设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，所以x

所以x=6，y=30或x

所以S4n＝30.

法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1.

∴Sn＝a11-qn1-q

＝a1

∴S3nSn＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴q

又