苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第六章 空间向量与立体几何 6.3.4 空间距离的计算.docVIP

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6.3.4空间距离的计算

A级必备知识基础练

1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()

A.1652 B.214 C.53 D.

2.(浙江杭州月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a(a0),则点D1到直线AC的距离为()

A.3a B.3a2 C.2

3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离为()

A.83 B.38 C.4

4.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=.?

5.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.?

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,A1D1的中点,求点A到直线EF的距离.

7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.

8.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.求直线AC到平面PEF的距离.

B级关键能力提升练

9.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=22,0,22为直线l的一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为.?

10.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为.?

11.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=22,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为.?

12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;

(2)求点A1到平面AED的距离.

C级学科素养创新练

13.(重庆开州模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0λ2),设N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为 ()

A.3λ B.2

C.23λ D.

参考答案

6.3.4空间距离的计算

1.D由题意得OP=12(OA+OB)=2,32,3,PC=

∴PC=|PC|=4+

2.D如图建立空间直角坐标系,

易得C(a,a,0),D1(0,a,2a),

则AC=(a,a,0),CD

设CD

∴cosφ=-a22

∴sinφ=310

∴点D1到直线AC的距离为d=|CD1|sinφ=5a

3.C如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),D1(0,0,4),

∴D1B1=(2,2,0),

设n=(x,y,z)是平面AB1D1的法向量,则n⊥D1B

∴

令z=1,则平面AB1D1的一个法向量为n=(2,-2,1).

故点A1到平面AB1D1的距离为d=|

4.2OP=(-1,3,2),d=|n

5.49

∴n·AB=0,n·

又AB=(2,-2,1),AC=(4,0,6),

∴

令z=-2,则n=(3,2,-2).

又AD=(-7,-7,7),

∴点D到平面ABC的距离为d=|

=|

6.解以{DA,

设DA=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),EF=(1,-2,1),FA=(1,0,-2).

设EF,

则cosφ=EF·FA|EF||

∴点A到直线EF的距离d=|FA|·sinφ=174

7.解如图所示,建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),

∴EF

EG=(2,-1,-1),

GA=(0,-1,0).

设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,

则n

令x=1,则y=1,z=1,

∴平面EFG的一个法向量n=(1,1,1),

∴点A到平面EFG的距离为d=|

8.解以{DA,

则P(0,0,1),A(1,0,0),

E1,12,0,F12,1,0,

EF=-12,12,0,PE=1,12,-1

设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),

则n

令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3).

因为AE=0,12,0,

所以点A到平面P