2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：27　第五章　5.3　5.3.2　第1课时　函数的极值.docxVIP

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5.3.2函数的极值与最大(小)值

第1课时函数的极值

[学习目标]1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)

2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)

3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)

4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)

(教师用书)

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．

[讨论交流]

问题1．极大值、极小值的概念是什么？

问题2．函数的极大值点、极小值点是什么？

问题3．如何求函数的极值？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1函数极值的概念

探究问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？

[提示]在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．

探究问题2你能从函数与导数角度描述一下探究问题1中在各个山峰、山谷附近的特点吗？

[提示]以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)＞0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)＜0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.

[新知生成]

极值点与极值的概念

(1)极小值点与极小值

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

【教用·微提醒】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数．

2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．

[典例讲评]1．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增；

②函数y＝f(x)在区间-1

③函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增；

④当x＝－12时，函数y＝f(x)

⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．

则上述判断中正确的序号是________．

③⑤[对于①，当x∈(3，4)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈(4，5)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以①错误；

对于②，当x∈-12，2时，f′(x)＞0，f

当x∈(2，3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以②错误；

对于③，当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以③正确；

对于④，当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0，

f(x)单调递增，故当x＝－12时，f-12

对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．]

关于函数极值的概念的理解

(1)可导函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x＝x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数，即在某区间上单调递增或单调递减的函数没有极值．

[学以致用]1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()

A.1B．2C．3D．4

A[由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个“穿过”x轴的交点的横坐标分别为c，d，其中c＜d，可知在(a，c)，(d，b)上，f′(x)≥0，

所以此时函数f(x)在(a，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f′(x)＜0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，所以x＝d时，函数取得极小值．

则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.]

探究2求函数的极值

【链接·教材例题】

例5求函数f(x)＝13x3－4x＋4

[解]因为f(x)＝13x3－4x＋4

f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．

令f′(