2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：32　第五章　章末重构拓展.docxVIP

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类型1导数的几何意义及运算

1．本部分内容涉及导数的几何意义、基本初等函数求导、导数的四则运算法则、复合函数求导，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，然后再研究最值问题．

2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想．

【例1】(1)已知f(x)＝tanx，则f′π6＝(

A．14 B．

C．43 D．

(2)已知f(x)＝xex＋3sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()

A．y＝x B．y＝3x

C．y＝2x D．y＝4x

(3)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．

(1)C(2)D(3)ln2[(1)∵f(x)＝tanx＝sinxcosx，∴f′(x)＝cos

∴f′π6＝134＝4

(2)因为f(x)＝xex＋3sinx，所以f(0)＝0，f′(x)＝ex＋xex＋3cosx，所以切线的斜率k＝f′(0)＝1＋3＝4，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x.故选D.

(3)由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.

由y＝ln(x＋1)＋a得y′＝1x+1，设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)

由两曲线有公切线得y′＝1x0+1＝2，解得x0＝－1

切线方程为y＝2x+12＋a＋ln12＝2x＋1＋

根据两切线重合，所以a－ln2＝0，解得a＝ln2.]

类型2导数与函数的单调性

1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有lnx，ex等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是f′(x)的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．

2．通过利用导数判断函数的单调性，培养直观想象、数学运算等核心素养．

【例2】已知函数f(x)＝e2x＋(a＋2)ex＋ax，讨论f(x)的单调性．

[解]函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2e2x＋(a＋2)ex＋a＝(2ex＋a)(ex＋1)．

当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增，

当a＜0时，令f′(x)＝0，则x＝ln-a

当x∈-∞，ln-a2时，f′(x)＜0，

当x∈ln-a2，+∞时，f′(x)＞0，

综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a＜0时，f(x)在-∞，ln-

类型3导数与函数的极值、最值

1．极值和最值是两个不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外函数有极值未必有最值，反之亦然．

2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．

3．通过求函数的极值、最值问题，培养逻辑推理、数学运算等核心素养．

【例3】已知函数f(x)＝lnx－mx(m∈R)

(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．

[解](1)当m＝－2时，f(x)＝lnx＋2x(x＞0)，则f′(x)＝x-2

当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln2＋1，无极大值．

(2)f′(x)＝x+mx2，令f′(x)＝0，则x＝－

①当－m≤1，即m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，

解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．

②当1＜－m＜e，即－e＜m＜－1时，x∈(1，－m)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(－m，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，

解得m＝－e3，不满足－e＜m＜－1，故舍去．

③当－m≥e，即m≤－e时，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递减，