2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：33　全书要点速记.docxVIP

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第四章数列

要点一数列的概念

1．在数列{an}中，

an＋1＞an?{an}是递增数列；

an＋1＜an?{an}是递减数列；

an＋1＝an?{an}为常数列．

2．一般规律数列

(1)数列1，2，3，4，…的通项公式是an＝n(n∈N*)；

(2)数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1(n∈N*)；

(3)数列2，4，6，8，…的通项公式是an＝2n(n∈N*)；

(4)数列1，2，4，8，…的通项公式是an＝2n-1(n∈N*)；

(5)数列1，4，9，16，…的通项公式是an＝n2(n∈N*)；

(6)数列1，12，13，14，…的通项公式是an＝1

要点二等差数列

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2．等差中项

a，A，b成等差数列?A是a，b的等差中项?2A＝a＋b.

3．等差数列的通项公式

以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

4．等差数列的前n项和公式

首项为a1，公差为d，末项为an，项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1+an2

5．等差数列的性质

数列{an}是公差为d的等差数列，则：

(1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝an-amn-m(

(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

特别地，①若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)；

②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝….

(3)下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以md为公差的等差数列．

(4)数列{tan＋λ}(t，λ是常数)是公差为td的等差数列．

(5)若数列{bn}为等差数列，则数列{tan±λbn}(t，λ是常数)仍为等差数列．

6．等差数列前n项和的性质

(1)项数的“等和”性质：Sn＝na1+

(2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；

若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)．

(3)与项数有关的“奇偶”性质(S奇，S偶分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和)：

①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶

②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn-1(S奇＝nan，S偶＝(n－1)

(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S

(5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．

(6)数列Snn是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an

7．等差数列的判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)?{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．

(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)?{an}是等差数列．

(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列．

要点三等比数列

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．

2．等比中项

a，G，b成等比数列?G是a，b的等比中项?G2＝ab(ab≠0)．

3．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝a1qn-1(a1，q≠0)．

4．等比数列的前n项和公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和公式为Sn＝n

5．等比数列的性质

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

(1)an＝amqn－m(m，n∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则aman＝apaq.

特别地：①若m＋n＝2r，则aman＝ar2(m，n，r∈N*

②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i(n∈N*，n≥2，i＝1，2，…，n)．

(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．

(4)数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列；

数列1an是公比为

数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．

若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则