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二次根式典型例题

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二次根式典型例题

【知识要点】

1、二次根式的概念：一般地，形如的式子叫做二次根式。

注意：这里被开方数可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中是为二次根式的前提条件。

2、二次根式的性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

即。

4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

即。

5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。

6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。

分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式。

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。

一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：

①与；②与；③与；

④与（其中都是最简二次根式）

7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

8、二次根式的加减法

二次根式的加减，就是合并同类二次根式。

二次根式加减法运算的一般步骤：

（1）将每一个二次根式化为最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）合并同类二次根式。

【典型例题】

例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

分析：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数不小于0。

解答：（1）∵，

∴是二次根式；

（2）∵，

∴不是二次根式；

（3）∵无论取什么实数，都有，

∴是二次根式；

（4）∵中根指数是3，

∴不是二次根式；

（5）当，即时，是二次根式；

当，即时，不是二次根式；

（6）∵

当时，；当时，。

∴当时，是二次根式；当时，不是二次根式。

例2、是怎样的实数时，下列各式有意义。

（1） （2）

（3） （4）

分析：要使上面各式有意义，必须使二次根号下的被开方数非负。

解答：（1）由，得。

∴当时，有意义。

（2）由，得，即。

当时，有意义。

（3）∵。

当时，，有意义；

当时，，无意义。

（4）∵，

∴为任意实数，都有意义。

例3、（1）计算；

（2）

（3）设为的三边，化简

分析：根据，再由绝对值的意义，化去绝对值的符号。

解答：（1）；

（2）

（3）因为为三角形三边，所以，

例4、化简：

（1） （2）

（3） （4）

分析：运用等式可把二次根式化简。

解答：（1） （2）

（3） （4）。

例5、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。

（1） （2）

（3） （4）

分析：根据算术平方根的定义，根号外的因式移到根号内，要将其平方，同时不能改变其性质符号。

解答：（1）

（2）（3）（4）

例6、计算：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

分析：根据二次根式的乘法法则，除法法则，合并同类二次根式等方法进行计算。

解答：（1） （2） （3）

（4） （5）

【小结】

1、二次根式的意义；二次根式的简单性质．

2、会利用积的算术平方根的性质，化简二次根式；会进行简单的二次根式的乘法运算．

3、会利用商的算术平方根的性质，化简二次根式；会进行简单的二次根式的除法运算．

4、最简二次根式．

5、同类二次根式；能熟练地进行二次根式的加减法运算．

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、填空题：

1、计算：=________；=________；=________；=________。

2、计算：=________；+=_________。

3、计算：－=__________；=_________.

4、若，则__________；若，则__________。

5、若=0，则=__________。

6、当x_______时，有意义；在中x的取值范围是___________。

二、选择题：

7、下列二次根式中，最简二次根式是（）。

（