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二项式定理

主讲人：陈逸

知识强化

一、知识概述

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概

率的重要基础．这部分知识具有较高的应用价值和思维训练价值．二项式定理主

要包括：定理本身、通项公式、杨辉三角、二项式系数的性质等．

二、重难点知识归纳

1、二项式定理

．

这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，

的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数称为二项式

系数，称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．

对于二项式定理有五点注意事项：

①不得随意变更展开式中各项的顺序；

②二项展开式共有n＋1项；

③系数依次为；

④a的指数从n起依次减少1，直到0为止，而b的指数以0起依次增加1，直

到n为止；

⑤a、b可以是数，也可以是式（单项式，多项式分式，根式等）．

2、通项公式的特点：

（1）它表示二项展开式的第r＋1项，该项的二项式系数是，而不是；

（2）字母b的次数和组合数的上标相同；

（3）a与b的次数之和为n．

3、二项式系数的性质：

（1）对称性：由组合数性质“”可得到对称性，即．

（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系

数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相

等并且最大.

（3）二项展开式中的二项式系数和为2，即.

n

（4）二项展开式中奇数项与偶数项的二项式系数和相等，即

.

1

三、典型例题剖析

例1、求的展开式中的系数．

解析：

方法一：，

∴x的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5．

3

方法二：利用通项公式，则

的通项为，．

的通项为，．

令，则或或．

从而的系数为．

例2、在的展开式中，求：

（1）第5项的二项式系数及第5项的系数；

（2）倒数第3项．

解析：

要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，

只需利用通项公式即可．

（1），

∴第5项的二项式系数是