专题4.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）（解析版）.pdfVIP

专题4.1相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）

【题型1：8字型】

【题型2：反8字型】

【题型3：平行类A字型】

【题型4：不平行A字型】

【题型5：直角三角形中射影定理】

【题型6：非直角三角形中射影定理】

【题型1：8字型】

【基本模型】

【典例1】（2023春•连平县期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E

是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．

（1）证明：△ADE≌△CFE；

（2）若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长．

【答案】（1）证明见解析过程；

（2）4．

【解答】（1）证明：∵点E是边AC的中点，

∴AE＝CE，

又∵CF∥AB，

∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS）；

（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝8，

∴CF＝AD＝8，

∵AB＝AC，点E是边AC的中点，CE＝6，

∴AC＝2CE＝12，

∴AB＝12，

∴DB＝AB﹣AD＝12﹣8＝4．

【变式1-1】（2023•路桥区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一

点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（）

A．9B．12C．27D．36

【答案】D

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵AE：EB＝1：2，

∴AE：AB＝1：3，

∴AE：CD＝1：3．

∵AB∥CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴，

∴S△CDF＝9S△AEF＝27．

∵△AEF∽△CDF，

∴，

∴S△AEF：S△ADF＝EF：DF＝1：3，

∴S△ADF＝3S△AEF＝9，

∴S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝27+9＝36，

故选：D．

【变式1-2】（2023•大兴区一模）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，

且AE＝2DE，连接CE交对角线BD于点F．若BD＝10，则DF的长为

2.5．

【答案】2.5．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC．

∴△EDF∽△CBF，

∴．

∵AE＝2DE，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵BD＝10，

∴DF＝10＝2.5．

故答案为：2.5．

【变式1-3】（2023•海淀区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中

点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，，则AF的长为

．

【答案】．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，

∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，

∵E是边AB的中点，

∴AE＝BE＝AB＝2，

在Rt△DAE中，，AE＝2，

∴＝＝3，

在Rt△ADC中，AD＝3，CD＝4，

∴＝＝5，

∵AB∥CD，

∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，

∴△AEF∽△CDF，

∴，

∴，

∴＝．

故答案为：．

【变式1-4】（2022秋•南开区校级期末）如图，在▱ABCD中，G是CD延长线

上一点，连接BG交AC，AD于E，F．

（1）求证：△ABE∽△