2025（苏教版）数学九年级上册第2章《圆》单元复习讲义（知识点+典例）学生版+解析版.docx

2025（苏教版）数学九年级上册

第2章《圆》单元复习讲义

【清单01圆的相关概念】

圆的定义

在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

点和圆的位置关系

点和圆的

位置关系

点到圆心的距离与半径的关系

图示

文字语言

符号语言

点在圆内

圆内各点到圆心的距离都小于半径，

到圆心的距离小于半径的点都在圆内

点在圆内

点在圆上

圆内各点到圆心的距离都等于半径，

到圆心的距离等于半径的点都在圆上

点在圆上

点在圆外

圆内各点到圆心的距离都大于半径，

到圆心的距离大于半径的点都在圆外

点在圆外

弦、弧、圆心角

名称

概念

注意

图示

弦

连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”

直径是圆中最长的弦不一定是直径

直径

经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”

但弦不一定是直径

弧、

半圆、

劣孤、

优弧

圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中

半圆是弧，但弧不一定

是半圆

等圆

能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等

等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关

等弧

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤

长度相等的孤不一定是等孤

【清单02垂径定理】

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

几何语言：

知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．

常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

【清单03确定圆的条件】

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

【清单4圆周角】

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

圆内接四边形：

一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

【清单05直线和圆的位置关系】

位置关系

图形

定义

性质及判定

相离

直线与圆没有公共点

直线与相离

相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做

圆的切线，公共点叫做切点

直线与相切

相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做

圆的割线

直线与相交

切线的判定与性质

（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。

（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。

三角形的内切圆

（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。

（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。

切线长

（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

圆和圆的位置关系的定义、性质及判定

位置关系

图形

定义

性质及判定

外离

两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．

两圆外离

外切

两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．

两圆外切

相交

两个圆有两个公共点．

两圆相交

内切

两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．

两圆内切

内含

两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．

两圆内含

【清单06正多边形与圆】

正多边形的有关计算

（1）正边形的每个内角都等于

（2）正边形的每个中心角都等于

（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及