奇妙的再植数.docVIP

奇妙的再植数

奇妙的再植数

奇妙的再植数

奇妙得再植数

在自然数里,会有好多巧妙得数字规律,让人感到奇异有趣、如１42８５7×4=5７1428，769２3×3=230７６9，式子中呈现了这样一种规律:一个数得倍数仍然是这个数字得循环排列,我们从中欣赏到一种秩序对称得美妙。如果给这类数下一个定义,即就是一个自然数Ａ乘以一个自然数K,其积是Ａ得各位数字得循环排列，那么称A是关于K得再植数。再植数得概念早在80年代得一本《数学通讯》月刊中就被提了出来。现在，我们要对再植数得范围、性质,作进一步得探讨,目得是希望大家对这类趣味数学有一个系统得了解。

怎样得一个数会成为我们探讨得再植数,这是我们首先关心得问题，由于再植数乘以一个数会成为这个数字得循环数，因此再植数与循环小数有着密切关系、我们知道:，，，,，,我们看到，分别乘以2，3，４，5，6以后获得得数得组成同完全一样,只是次序有了变化。如果我们把14２857写在圆周上，我们看到（=1,2,3，4,5，6)恰好是１42857得循环变化。

但不是所有得循环小数得循环节都是我们找得再植数，如,12３并不是再植数。

为此我们考察一些质数得倒数:,，，，,……。

（＝１，3，４，9，10,12)是得循环变化,（=２,5，6,7,8，1１)是153８4６得循环变化。而（=1，2，……17）是１7６4７得循环变化。

从中可见，循环小数得循环节长度与再植数密切相关。得循环节为1，为6,为2，为6,为16。当一个质数得倒数得循环节大于2时,其循环节与再值数相关、

由以上探讨，我们可以得到下列再植数，

（1）1428５7×k，（k=1，２，3，4,5,6）;

(2）１５３８46×k，(k=1，３，4)；

(3）０７６923×k,（k=１，3，4，9，1０,12)；

(４)17647×ｋ，（ｋ=１，2，3,……16）;

（５）05２6321×k，（k=1，2，３，４,……18）；

（6）9５652１73913×ｋ,(k＝1,2，3……2２);

（7）27５862×k，(k=１,2，3，……2８）;

(8）322５80645１61２9×k,

(k=1，２,4，5，7，８，10,14,16,18，19,20，25，２8）；

９67741935４8387×ｋ,(k=2,3,4,5，７,8，9，１0）

（9）027×ｋ,（ｋ=1，１0,26);

（10)02４３9×k,(k＝10，16，１８,37)；

0４878×k,(k=1０，16,18)；073１7×１０。

这些再植数,是我们考察7至41内得10个字数得倒数得到得,如果继续探讨下去,可发现再植数有无穷多个。

再植数有许多奇妙得性质:

１、与9得联系:14２8５7×7＝９９９9９9,1４2+857=999，14+2８+57=99,1+4＋2+8+5+７＝27，而2+7=９。这种特点对于1４28５7得倍数也成立，例如14２８5７×２8524５+71４＋４０=9９9。

2、待合再值数,把再值数142８57×7以上得数字时，也会出现一些有趣得现象、例如，8×1４２857＝1１42856，首尾相加后得142857,９×１428５7=１２85７13,首尾相加后得2857１4,……13×142８５7=１857141，首尾相加后得８57１４２、1４×1428５7=２01999８，首尾相加后得999999。我们把上述现象称为待合再植数，待合再植数可归纳如下：

结论1：对于自然数m，若m≡ｉ（mod7)i=1,2，３,４，5,6。那么m×1４28５7得积得首几位数取下来加到末尾得几个位数上去。结果为142857×i。

证明:因m≡i（ｍod7)，则m＝7k+i，１４２８57×ｍ＝１4２857×（７k+ｉ)，

=（１42857×7)ｋ+1４２857×ｉ

＝９9999９k+142857×i

=ｋ×＋１42８57×ｉ－k

显然式中结果得首几位数为k，末几位数为1４2857i个位数减去k，将首位数k取下来加到末尾得几位上去，结果为14285７i、

结论１中，当k≥1０时，例如71×142857我们首两位数取下来加在末两位数时，有１42８4７+10=1428５７，可称为两位待合再植数,当ｋ≥１00时,如70２×14285７＝1002856１４，首三位加末三位后得28５714、可称为三位待合再植数。当k≥时，称为n＋１位待合再植数、当ｎ+1＝6时，我们举下列例子：７00０01×１4285７=９９９９9914285７99999９+1428５7

1428５７6+１=14２８57。显然，在n+1≥6时，我们需要通过首尾两次以上得相合才能还原成再值数。

3、再值数得平方数。我们来考察下列再植数得平方数。①1４285７２=204081