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第36届全国中学生物理竞赛复赛试题

第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题

2019年9月21日

一、如图a，一辆旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳，

三个相同凳脚的端点连线（均水平）构成边长为a的等边三角

形，凳子质心位于其轴上的G点。半径为r的一圆筒形薄壁茶

杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O点处，茶杯质量为

m（远小于凳子质量），其中杯底质量为m/5，杯高为H（与

杯高相比，杯底厚度可忽略）。杯中盛有茶水，茶水密度为ρ。

重力加速度大小为g。

1.为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中

茶水的最佳高度是多少？

2.现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内

切于D点时静止，且OD⊥AC（见图b），求此时旅行车内

底板对各凳脚的支持力相对于滑移前（该茶水杯位于凳面中心

处）的改变。

二、农用平板车的简化模型如图a所示，两车轮的半径均

为r（忽略内外半径差），质量均为m，两轮可绕过其中心的

光滑细车轴转动；车平板长为l、质量为2m，平板的质心恰

好位于车轮的轴上；两车把手（可视为细直杆）的长均为2l、

质量均为m，且把手前端与平板对齐。平板、把手和车轴固

连成一个整体，车轮、平板和把手各自的质量分布都是均匀的。

重力加速度大小为g。

1.该平板车的车轮被一装置卡住而不能前后移动，但仍可

绕车轴转动。将把手提至水平位置由静止开始释放，求把手在

与水平地面碰撞前的瞬间的转动角速度。

2.在把手与水平地面碰撞前的瞬间立即撤去卡住两车轮的

装置，同时将车轮和轴锁死，在碰后的瞬间立即解锁，假设碰

撞时间较短（但不为零），碰后把手末端在竖直方向不反弹。

已知把手与地面、车轮与地面之间的滑动摩擦系数均为μ（最

大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求在车轮从开始运动直至静止

的过程中，车轴移动的距离。

模型简化

某模型如图a所示，由两个圆柱形固定导轨相互平行组成。

导轨的对称轴所在平面与水平面的夹角为θ，导轨的长为L，

半径为b，每单位长度的电阻为λ，两导轨之间的最近距离为

d。一弹丸质量为m，置于两导轨之间，弹丸直径为d，电阻

为R，与导轨保持良好接触。两导轨下端横截面共面，下端通

过两根与相应导轨同轴的、较长的硬导线与一电流为I的理想

恒流源相连。不考虑空气阻力和摩擦阻力，重力加速度大小为

g，真空磁导率为μ。考虑一弹丸自导轨下端从静止开始被磁

场加速直至射出的过程。

2）问题求解

1.求弹丸在加速过程中所受到的磁场作用力。

2.求弹丸的出射速度。

3.求在弹丸加速过程中任意时刻、以及弹丸出射时刻理想

恒流源两端的电压。

4.求在弹丸的整个加速过程中理想恒流源所做的功。

5.在θ=0的条件下，若导轨和弹丸的电阻均可忽略，求弹

丸出射时的动能与理想恒流源所做的功之比。

三（40分）、2016年9月，G20峰会在杭州隆重召开，

其会议厅的装饰设计既展示出中国建筑的节能环保理念，又体

现了浙江的竹文化特色。图a给出了其部分墙面采用的微孔竹

板装饰的局部放大照片，该装饰同时又实现了对声波的共振吸

收。竹板上有一系列不同面积、周期性排列的长方形微孔，声

波进入微孔后导致微孔中的空气柱做简谐振动。单个微孔和竹

板后的空气层，可简化成一个亥姆霍兹共振器，如图b所示。

假设微孔深度均为l，单个微孔后的空气腔体体积均为V，微

孔横截面积记为S。声波在空气层中传播可视为绝热过程，声

波传播速度vs与空气密度ρ及体积弹性模量κ的关系为v

s=κ/ρ。其中κ是气体压强的增加量△p与其体积V相对

变化量之比，即κ=−V(△P/△V)。

已知标准状态（273K，1atm=1.01×105Pa）下空气(可视为

理想气体)的摩尔质量Mmol=29.0g/mol，热容比，气体普适常

量R=8.31J/(K·mol)。

1.求标准状态下空气的密度和声波在空气中的传播速度v。

2.求上述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率（用v、S、l、

V表示）。