第二章-物体的几何表示(2).ppt

2007-9-18CADCG国家重点实验室物体的几何表示(2)内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线参数曲面内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线参数曲面参数表示的数学原理：直线段考虑直线段P0(x0,y0,z0)→P1(x1,y1,z1)参数表示分量表示参数空间：参数表示的数学原理：直线段直线段参数表示的直观几何意义参数空间中每一个参数(点)都对应于直线段上一个点参数空间的两个端点对应于直线段的两个端点参数表示的数学原理：曲线一般三维参数曲线形式：参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t)图形学中，参数空间通常是有限区间，此时参数曲线称为参数曲线段图形学中，参数函数通常为分段多项式或有理多项式曲线参数表示的数学原理：平面双线性四边面片：(u,v)∈[0,1]×[0,1]四边面片的四个顶点P0、P1、P2和P3对应于参数曲面的四个角点R(0,0)、R(1,0)、R(1,0)和R(0,1)曲面参数表示的数学原理参数表示的优势参数表示是显式的对每一个参数值，可以直接计算曲面上的对应点参数表示的物体可以方便地转化为多边形逼近表示曲面上的几何量计算简便(微分几何)：法向、曲率等特殊形式的参数表示的外形控制十分直观Bézier、B-样条、NURBS(Non-UniformRationalB-Spline,非均匀有理B-样条)曲线/曲面。内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线Bézier曲线B-样条曲线NURBS曲线参数曲面Bézier曲线Bézier曲线定义一条n次Bézier曲线： 多项式{Bi,n(t)}称为Bernstein基函数：Bézier曲线性质端点插值： R(0)=R0R(1)=Rn端点切向：R?(0)=n(R1?R0)R?(1)=n(Rn?Rn-1)对称性： ∑iRn-iBi,n(t)=∑iRiBi,n(t)曲线的控制顶点的几何地位是对称的Bézier曲线性质凸包性：Bézier曲线位于控制多边形的凸包内几何不变性：Bézier曲线的形状仅与控制多边形有关，与坐标系无关Bézier曲线求解Bézier曲线剖分算法Bézier曲线剖分性质每次剖分，曲线分为两段新的Bézier曲线新的控制多边形更加趋近于Bézier曲线当剖分次数足够大的时候，控制多边形可以作为Bézier曲线的逼近Bézier曲线的不足整体性质：当移动曲线的一个控制顶点时，整条曲线的形状都会发生改变表示复杂形状时，需要将多条Bézier曲线光滑拼接起来，即Bézier样条曲线。位置连续：C0(或G0)n次导数(或几何)连续：Cn(或Gn)内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线Bézier曲线B-样条曲线NURBS曲线参数曲面B-样条曲线实列B-样条曲线的定义B-样条曲线是分段连续的多项式曲线，其定义与节点向量密切相关定义在节点向量u={u0,u1,…,ui,…,un+k+1}上的k次(k+1阶)、具有(n+1)个控制顶点的B-样条曲线为：B-样条曲线的定义 Ri为控制顶点，{Ri}i=0,1,…,n顺次连接称为曲线的控制多边形 Ni,k(u)为单位化的B-样条基函数：B-样条曲线性质局部性：当移动一个控制顶点时，只会影响曲线的一部分，而不是整条曲线内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线Bézier曲线B-样条曲线NURBS曲线参数曲面引入NURBS曲线的原因B-样条情形不能精确表示二次曲面与平面的交线，如圆锥曲线(平面与圆锥的交线)NURBS曲线NURBS(Non-UniformRationalB-Spline)：非均匀有理B-样条的简称定义：NURBS曲线{Ni,k(u)}为单位化的B-样条基函数{Ri}为控制顶点NURBS曲线新增加的曲线控制手段是权因子{ωi}，首末两个权因子ω00、ωn0其余的权因子满足ωi≥0NURBS曲线的例子**双线性四边面片PierreBézier(1910.9.1-1999.11.25)发音：[BEHzeeeh]Bézier曲线三次Bézier曲线Bézier曲线的凸包性当控制点为4，相应的4个Bernstein多项式为:

1、B0,3(u)=1*(1-u)3

2、B1,3(u)=3*(1-u)2*