《应用随机过程（第6版）》 第三次题目和参考答案.pdf

《应用随机过程》第三次作业和参考答案

问题一：

假设,t≥0为布朗运动，ℱ,t≥0为该布朗运动的σ代数流。证明(−

鞅。

参考答案：0≤s≤t,

()|()]

[−ℱs

()|()]

=[(−)+2−−ℱ

|()]

=E[(−)−ℱ+[2|ℱ(]+[−(|ℱ(]

=[(−−+2[|ℱ(]− (

=(−

问题二：

考虑一个在整数上的随机游动模型,每一步的行走用随机变量ξ来表示，设向右

()()

移动的概率为p1/2，向左的概率为1−p。即：Pξ=1=p, Pξ=−1=

1−p。记n步后的位置为S，即：S=+∑ξ，其中S0为常数，表示初

始位置。令T表示随机游走第一次到达0或者N的时刻，即：T=inf {n: S=0

或者 N}。提示：σ-代数流就当作F=,,…,)。

(1)证明：M=为鞅

(2)证明：T为停时

()()

(3)利用鞅的停时定理，求PS=0和PS=N

(4)证明Y≔+(1−2为鞅

()

(5)计算ET

参考答案：:

|()]

(1) E[Mℱn

1−

()

=ℱn

1−1−

()

=ℱn

1−1−1−

()

=×+×1−

=1−

=

Somartingale.

{}

(2)T=infn:S=0 or S=N,

{}{}()

so T=k=S≠0N,for all i=0,1,..k−1∩{S=0 or S=N}∈ ℱn,soTisa