曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案.pdfVIP

曹⼴福版实变函数与泛函分析第四章答案

第四章习题参考解答

1．设)(xf是E上的可积函数，如果对于E上的任意可测⼦集A，

有0)(=?dxxfA，试证：)(xf，].[.Eea

证明：因为}1)(|{}0)(|{1kxfxExfxEk≥=≠∞

=，⽽Nk∈?，}1)(|{k

xfxE≥

}1

)(|{}1)(|{kxfxEkxfxE-≤≥=.由已知，

=+=-

≤≥

≥

k

xfxEk

xfxEk

xfxEdxxfdxxfdxxf1)(|{1)(|{1

|)(|{)()()(

000=+.

⼜因为0}1)(|{11)(0}

1

)(|{}

1

)(|{≥≥=≥

=

≥≥??

k

xfxmEkdxkdxxfk

xfxEk

xfxE，0}1

)(|{1)1()(0}

1

)(|{}

1

)(|{≤-≤-=-≤=≥≥??kxfxmEkdxkdxxfk

xfxEk

xfxE

所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥kxfxmEkxfxmE.

故,0}1

)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k

xfxmEkxfxmEkxfxmE,从⽽

00}1

|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1

11==≥≤≥=≠∑∑∞

=∞=∞

=kkkkxfxmEkxfxEmxfxmE.即，

0)(=xf，].[.Eea.

2.设f，g都是E上的⾮负可测函数，并且对任意常数a，都有

})(|{})(|{axgxmEaxfxmE≥=≥，试证：)()(xgxf=，从⽽，=?dxxfE)(

dxxgE

)(.

证明：我们证f

，g是同⼀个简单函数序列∞=1){mmψ的极限函数.

Nm∈?及12,,1,0-=mmk，令}21

)(2|

{,m

mkmkxfkxEE+≤≤=，并且})(|{2,mxfxEEmmm≥=.则kmE,是互不相交的可测集，

并且kmmkEEm,21

==，定义简单函数

∑

==m

kmmkEmmxk

x20

)(2)(,χψ.下⾯证明：)()(limxfxmm=∞

→ψ，Ex∈.

Ex∈?0,若+∞=)(0xf，则Nm∈?，mmmEx2,0∈，

所以)()(0∞→∞→=mmxmψ，即)()(lim00xfxmn=∞

→ψ；若+∞)(0xf，则可取正整数)(00xfm，0mm≥?时,

}2

1)(2|

{})(0|{1

21

0mmmkkxfkxEmxfxExm+≤=≤∈-=.故，存在)120(-≤≤m

mkk，}21)(2|{0mmkxfkxEx+≤∈.即，mmkxfk21)(20+≤，mmkEmmk

xkxm

km2)(2

)(2

0,==∑=χψ.

所以，

02

1

2212)()()(|)()(|00000→=-+-=-=-mmmmmmkkkxfxxfxxfψψ，从⽽，)()(lim00xfxmn=∞

→ψ.

同理，Nm∈?，定义简单函数列

∑

==m

k

mmkEmmxk

x20)(2

)(*,χψ，其中：}2

1)(2|

{*

,mmkmkxgkxEE+≤=，12,,1,0-=mmk.})(|{*

,mxgxEEkm≥=.同上⼀样可证明：)()(lim0xgxmn=∞

→ψ，Ex∈.

因为Ra∈?，有})(|{})(|{axgxmEaxfxmE

≥=≥.故Ra∈?，})(|{bxfaxmE≤})(|{bxgaxmE≤=.从⽽，)120(-≤≤?m

mkk，有

kmmmmmkmm