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2023-2024学年广东省云浮市郁南县连滩中学高三下学期联合考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则()
A.30 B. C. D.62
2.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()
A. B. C. D.
3.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()
附:若,则,.
A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544
4.已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,,则球的表面积为()
A. B. C. D.
5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦至少有2个阳爻的概率是()
A. B. C. D.
6.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.若直线与曲线相切,则()
A.3 B. C.2 D.
8.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()
A. B. C. D.
9.已知函数,.若存在,使得成立,则的最大值为()
A. B.
C. D.
10.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()
①数列的任意一项都是正整数;
②数列存在某一项是5的倍数.
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确
C.①②都正确 D.①②都错误
11.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
12.复数(为虚数单位),则等于()
A.3 B.
C.2 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知复数z是纯虚数,则实数a=_____,|z|=_____.
14.正方体的棱长为2,是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是______.
15.函数的定义域为__________.
16.已知函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)有甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪元,送餐员每单制成元;乙公司无底薪,单以内(含单)的部分送餐员每单抽成元,超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员,分别记录其天的送餐单数,得到如下频数分布表:
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
(1)从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天,求这天的送餐单数都不小于单的概率;
(2)假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,将频率视为概率,回答下列两个问题:
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望;
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,小张应选择哪家公司应聘?说明你的理由.
18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
19.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.
(1)求的值;
(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.
求椭圆的方程;
已知是椭圆的内接三角形,
①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;
②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.
21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线:(为参数,),曲线:(为参数).若曲线和相切.
(1)在以为极点,轴非负半轴为极轴的极坐
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