专题2.4 根与系数的关系【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）.docxVIP

专题2.4根与系数的关系【十大题型】

【北师大版】

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【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】 1

【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 2

【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 2

【题型4由方程两根满足关系求字母的值】 2

【题型5不解方程由根与系数的关系推断根的正负】 3

【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 3

【题型7构造一元二次方程求代数式的值】 4

【题型8已知方程根的状况推断另一个方程】 4

【题型9根与系数关系中的新定义问题】 5

【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 5

【学问点一元二次方程的根与系数的关系】

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2

留意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.

【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】

【例1】（2025春·广东广州·九班级统考期末）若x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的两个根，则x

A．?7 B．?1 C．1 D．7

【变式1-1】（2025·湖北武汉·统考模拟猜测）已知m，n是一元二次方程x2+3x?2=0的两根，则2m?n

A．?3 B．?2 C．?13

【变式1-2】（2025·上海·九班级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则bb

【变式1-3】（2025春·九班级单元测试）已知x1、x2是方程x2?7x+8=0的两根，且x1

【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】

【例2】（2025春·浙江·九班级专题练习）设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则

A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013

【变式2-1】（2025春·湖北恩施·九班级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x?1=0的两个实数根，则a+22

A．32 B．5 C．2 D．

【变式2-2】（2025·江西萍乡·校考模拟猜测）若α、β是一元二次方程x2?3x?9=0的两个根，则α2

【变式2-3】（2025春·安徽池州·九班级统考期末）已知α和β是方程x2+2025x+1=0的两个根，则α2

A．?2025 B．2025 C．?2025 D．2025

【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】

【例3】（2025春·广东广州·九班级广州市其次中学校考阶段练习）若p、q是方程x2?3x?1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3

【变式3-1】（2025春·山东日照·九班级统考期末）已知a，b是方程x2?x?3=0的两个根，则代数a2

【变式3-2】（2025春·浙江温州·九班级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x?1=0的两根，则α4

A．7 B．8 C．9 D．10

【变式3-3】（2025春·九班级课时练习）已知a，b是方程x2?x?1=0的两根，则代数式2a

A．19 B．20 C．14 D．15

【题型4由方程两根满足关系求字母的值】

【例4】（2025·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2?8x+m=0两根为x1、x2，且

A．4 B．8 C．12 D．16

【变式4-1】（2025·上海·九班级校考期中）已知关于x的方程x2+(2k?1)x+k2?1=0

【变式4-2】（2025春·广东佛山·九班级校考阶段练习）方程x2?k2?4

【变式4-3】（2025春·安徽马鞍山·九班级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程x2+2k+3x+k2=0

【题型5不解方程由根与系数的关系推断根的正负】

【例5】（2025春·江苏南京·九班级专题练习）关于x的方程x?2x+1=p2（

A．有两个相异正根B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根

【变式5-1】（2025春·安徽合肥·九班级统考期末）方程2x2?3x+1=0

A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定

【变式5-2】（2025春·江苏南通·九班级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根

【变式5-3】（2025·九班级统考课时练习）已知a0，b0，c0，则方程ax2?bx?c=0

A．有两个负根 B．两根异号且正根确定值较大

C．有两个正根 D．两根异号且负根确定值较大

【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】

【例6】（2025·四川成都·