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2023-2024学年广西壮族自治区玉林市第一中学第二学期期中七校联考高三数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（）

A． B． C． D．

2．在中，，则（）

A． B． C． D．

3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）

A． B． C． D．

4．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．已知数列的通项公式是，则（）

A．0 B．55 C．66 D．78

6．设是虚数单位，复数（）

A． B． C． D．

7．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）

A． B． C． D．

8．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（）

A． B． C． D．

9．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A．函数在上单调递减

B．函数在上单调递增

C．函数的对称中心是

D．函数的对称轴是

10．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）

A． B． C． D．

11．函数的图象大致是（）

A． B．

C． D．

12．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________.

14．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．

15．已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．

16．已知（为虚数单位），则复数________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

18．（12分）如图，已知，分别是正方形边，的中点，与交于点，，都垂直于平面，且，，是线段上一动点.

（1）当平面，求的值；

（2）当是中点时，求四面体的体积.

19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．

（1）求线段长的最小值；

（2）求点的轨迹方程．

20．（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．

21．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

22．（10分）在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．

（1）分别求、、的值；

（2）求的表达式．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.

【详解】

由题意易得平面,

所以,

当且仅当时等号成立,

又阳马体积的最大值为,

所以,

所以堑堵的外接球的半径,

所以外接球的体积,

故选:B

【点睛】

本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.

2、A

【解析】

先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．

【详解】

因为所以为的重心，

所以,

所以,

所以，因为，

所以，故选A．

【点睛】

对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重