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仁寿一中北校区高二数学12月阶段性考试参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
C
D
A
A
D
C
B
C
B
二、填空题
13.14.,15.16.
三、解答题
17.(1)证明:由四边形为正方形可知,连接,因为为的中点,则为的中点,又因为为的中点,则为的中位线,故,面,面,面,
(2)连接,,如图所示,
点,分别为,中点,为的中位线,可得:,面,面,面,由(1)可知,,面,面,面,且,,面,故面面.
18.解:若为真,则或,解得;若q为真,则,即.因为“”为真,“”为假,所以p与q一真一假.
若为真,q为假,则;若q为真,p为假,则,
综上可知,实数a的取值范围为
19.证明:(1)∵平面,平面,
∴,∵,∴平面,………………4分
(2)由(1)知平面∵平面∴.
∵是正方形,∴,∵,,∴平面,
∵平面,∴平面平面.………………8分
(3)取的中点,连接,,∵,∴,
∵平面平面,平面,
平面平面,∴平面,
∴是在平面内的射影.
∴就是与平面所成的角,………………10分
在等腰中,∵,是的中点,∴,
在中,∵,,∴,∴,
∴.
∴直线与平面所成角的正弦值为………………12分
20.解:(1)若直线的斜率不存在,方程为,合题意。
若直线的斜率存在,设的方程为,即
直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,
即解得:
故直线的方程为
综上:所求直线的方程为或
(2)由题意得:直线的斜率肯定存在且不为0
设直线方程为:,则圆心到直线的距离,
当
故所求直线的方程为
21.解:(1)由题意,∵,椭圆的离心率为,
∴,∴,∴椭圆的标准方程为.
(2)设,,,
∴,
∵P点在椭圆上,∴,,∴,
由椭圆方程得,二次函数开口向上,对称轴,
当时,取最小值0,当时,取最大值12.∴的取值范围是.
22.(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形.因为E为的中点,所以.又,因此.
因为平面,平面,所以.而平面,平面且,所以平面
又平面,所以.
(2)设,H为上随意一点,连接,.
由(1)知平面,则为EH与平面所成的角.在中,,所以当最短时,最大,即当时,最大.此时,因此.
又,所以,所以.
(3)因为平面,平面,所以平面平面.
过E作于O,则平面,
过O作于S,连接ES,则为二面角的平面角,
在中,,,
又F是PC的中点,在中,,
又,在中,,即所求二面角的余弦值为.
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