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2023-2024学年河南省卢氏实验高中高三“绵阳三诊”热身考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则
A. B. C. D.
2.函数的图象大致是()
A. B.
C. D.
3.如图,某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为()
A. B. C.6 D.与点O的位置有关
4.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()
A. B.
C. D.
5.若复数满足,则(其中为虚数单位)的最大值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()
A. B. C. D.
7.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()
A. B. C. D.
8.曲线在点处的切线方程为()
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切,与相切于点,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
10.下列不等式正确的是()
A. B.
C. D.
11.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对;再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,那么可以估计的值约为()
A. B. C. D.
12.双曲线:(,)的一个焦点为(),且双曲线的两条渐近线与圆:均相切,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量满足,且,则_________.
14.设实数,满足,则的最大值是______.
15.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.
16.如图,在等腰三角形中,已知,,分别是边上的点,且,其中且,若线段的中点分别为,则的最小值是_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若在上是减函数,求实数的最大值;
(2)若,求证:.
18.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.
19.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
20.(12分)已知函数()
(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;
(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.
21.(12分)求函数的最大值.
22.(10分)已知数列和满足,,,,.
(Ⅰ)求与;
(Ⅱ)记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
画出,,根据向量的加减法,分别画出的几种情况,由数形结合可得结果.
【详解】
由题意,得向量是所有向量中模长最小的向量,如图,
当,即时,最小,满足,对于任意的,
所以本题答案为D.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法,以及点到直线的距离最短问题,解题的关键在于用有向线段正确表示向量,属于基础题.
2、B
【解析】
根据函数表达式,把分母设
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