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专题2.9一元二次方程章末十大题型总结(培优篇)
【北师大版】
TOC\o1-3\h\u
【题型1一元二次方程的相关概念辨析】 1
【题型2一元二次方程的解的估算】 1
【题型3配方法的应用】 2
【题型4依据判别式推断一元二次方程根的状况】 3
【题型5依据一元二次方程根的状况求参数】 4
【题型6一元二次方程的一般解法】 4
【题型7换元法解一元二次方程】 5
【题型8根的判别式与根与系数关系的综合】 5
【题型9一元二次方程中的阅读理解类问题】 6
【题型10一元二次方程的实际应用】 8
【题型1一元二次方程的相关概念辨析】
【例1】(2025春·湖南益阳·九班级校考期中)若方程(k?1)xk+1?2x=5是关于x的一元二次方程,则k=.
【变式1-1】(2025春·九班级课时练习)下列方程中属于一元二次方程的是(?????)
A.2(x+1)2=x+1
C.xy?x2=2
【变式1-2】(2025春·河南开封·九班级统考期中)把方程x2+2(x-1)=3x化成一般形式,其一次项系数为
【变式1-3】(2025春·福建厦门·九班级厦门外国语学校校考期末)两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0,其中a,b,c是常数,且a+c=0,假如x=2是方程
A.2 B.?2 C.±1 D.1
【题型2一元二次方程的解的估算】
【例2】(2025春·福建漳州·九班级校考期中)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如表:
x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
-13.75
-8.04
-2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据,估量方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为()
A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7
C.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9
【变式2-1】(2025春·山东青岛·九班级统考期中)依据下列表格的对应值,由此可推断方程x2+12x﹣15=0必有一个解x满足(?????
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣15
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
A.﹣1x1 B.1x1.1 C.1.1x1.2 D.﹣0.59x0.84
【变式2-3】(2025春·江苏·九班级校联考阶段练习)依据表格中的数据:
x
0.5
1
1.5
2
3
ax2+bx+c
28
18
10
4
﹣2
估量一元二次方程ax2+bx+c=6(a,b,c为常数,a≠0)一个解x的范围为(?????)
A.0.5<x<1 B.1<x<1.5 C.1.5<x<2 D.2<x<3
【题型3配方法的应用】
【例3】(2025春·河北石家庄·九班级统考期末)已知a,b,c是不等边△ABC的三边长,满足a2+b2=6a+8b-25,则最长边c的范围(?????)
A.1<c<7 B.4≤c<7 C.4<c<7 D.1<c≤4
【变式3-1】(2025春·江苏扬州·九班级统考期中)新定义,若关于x的一元二次方程:m(x?a)2+b=0与n(x?a)2+b=0,称为“同类方程”.如2(x?1)2+3=0与6(x?1)2
【变式3-2】(2025春·江苏苏州·九班级校考期中)已知实数x、y、z满足x2?4x+y2+4y?2xy+z=2018
【变式3-3】(2025春·四川内江·九班级校考期中)若a,b,c满足a+b+c=2a+1+4b+1+6
【题型4依据判别式推断一元二次方程根的状况】
【例4】(2025春·山东烟台·九班级统考期末)在平面直角坐标系中,若直线y=?3x+b不经过第一象限,则关于x的方程bx2+x+2025=0
A.0个 B.1个 C.2个 D.1或2个
【变式4-1】(2025春·福建宁德·九班级统考期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0
①若a?b+c=0,则它有一根为-1;
②若方程ax2+c=0
③若c是方程ax2+bx+c=0
④若b=2a+3c,则一元二次方程ax2+bx+c=0
【变式4-2】(2025春·安徽亳州·九班级校考期中)已知关于x的一元二次方程x2
(1)推断方程的根的状况;
(2)若△ABC为等腰直角三角形,且其两条边长恰好是该方程的根,求m的值.
【变式4-3】(2025春·安徽安庆·九班级统考期中)如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知AE=2c,这时我们把关于
??
(1)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax
(2)若x=?1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的
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