专题05-倍长中线问题(解析版).docVIP

专题05倍长中线问题

【要点提炼】

一、【倍长中线法】

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）+倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

二、【倍长中线法拓展;两次全等】

通常，在倍长中线后的第一组全等只是一个基础，往往还需证明第二组全等，但是难点就在于如何去倍长中线，倍长中线后去连接什么线，这是问题的关键。这时一般需要去试错，尤其是当有两个中点时，一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。

三、【倍长中线的常见类型】

1.基本型

如图1，在中，为边上的中线.

延长至点E，使得.

若连结，则;

若连结，则;

若连结则四边形是平行四边形.

2.中点型

如图2,为的中点.

若延长至点，使得，连结，则;

若延长至点，使得，连结，则.

总结：在线段外，与中点连结的点有和.事实上，和分别是和的中线，只不过是三角形不完整罢了，本质就是隐蔽的“基本型”

3.中点+平行线型

如图3,，点为线段的中点.延长交于点(或交延长线于点)，则.

小结若按“中点型”来倍长，则需证明点在上，为了避免证明三点共线，点就直接通过延长相交得到.因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等.这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.

【专题训练】

一、解答题（共14小题）

1.小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）

（2）AD的取值范围是

小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

【答案】【第1空】SAS

【第2空】1＜AD＜6

【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．

在△BED和△CAD中，

，

∴△BED≌△CAD（SAS）．

（2）∵△BED≌△CAD，

∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，

∴2＜AE＜12，

∴2＜2AD＜12，

∴1＜AD＜6．

故答案分别为SAS，1＜AD＜6．

解决问题：如图3中，

解：延长GE交CB的延长线于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥CM，

∴∠AGE＝∠M，

在△AEG和△BEM中，

，

∴△AEG≌△BEM，

∴GE＝EM，AG＝BM＝2，

∵EF⊥MG，

∴FG＝FM，

∵BF＝4，

∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，

∴GF＝FM＝6．

【知识点】四边形综合题

2.自主学习，学以致用

先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE＝AD．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF．

【解答】

证明：延长AD到G，使DF＝DG，连接CG，

∵AD是中线，

∴BD＝DC，

在△BDF和△CDG中

∴△BDF≌△CDG，

∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠AFE＝∠G，

∵BF＝CG，BF＝AC，

∴CG＝AC，

∴∠G＝∠CAF，

∴∠AFE＝∠CAF，

∴AE＝EF．

【知识点】全等三角形的判定与性质

3.阅读并解答问题．

如图，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．

证明：延长AD至E使得DE＝AD，连接EC，则AE＝2AD

∵AD为△ABC的中线

∴BD＝CD

在△ABD和△CED中

，

∴△ABD≌△CED

∴AB＝EC

在△ACE