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专题05倍长中线问题
【要点提炼】
一、【倍长中线法】
中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)+倍长中线最重要的一点,延长中线一倍,完成SAS全等三角形模型的构造。
二、【倍长中线法拓展;两次全等】
通常,在倍长中线后的第一组全等只是一个基础,往往还需证明第二组全等,但是难点就在于如何去倍长中线,倍长中线后去连接什么线,这是问题的关键。这时一般需要去试错,尤其是当有两个中点时,一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。
三、【倍长中线的常见类型】
1.基本型
如图1,在中,为边上的中线.
延长至点E,使得.
若连结,则;
若连结,则;
若连结则四边形是平行四边形.
2.中点型
如图2,为的中点.
若延长至点,使得,连结,则;
若延长至点,使得,连结,则.
总结:在线段外,与中点连结的点有和.事实上,和分别是和的中线,只不过是三角形不完整罢了,本质就是隐蔽的“基本型”
3.中点+平行线型
如图3,,点为线段的中点.延长交于点(或交延长线于点),则.
小结若按“中点型”来倍长,则需证明点在上,为了避免证明三点共线,点就直接通过延长相交得到.因为有平行线,内错角相等,故根据“AAS”或“ASA”证明全等.这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.
【专题训练】
一、解答题(共14小题)
1.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:(1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是:(用字母表示)
(2)AD的取值范围是
小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=2,BF=4,∠GEF=90°,求GF的长.
【答案】【第1空】SAS
【第2空】1<AD<6
【解答】解:(1)如图2中,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△BED和△CAD中,
,
∴△BED≌△CAD(SAS).
(2)∵△BED≌△CAD,
∴BE=AC=5,∵AB=7,
∴2<AE<12,
∴2<2AD<12,
∴1<AD<6.
故答案分别为SAS,1<AD<6.
解决问题:如图3中,
解:延长GE交CB的延长线于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥CM,
∴∠AGE=∠M,
在△AEG和△BEM中,
,
∴△AEG≌△BEM,
∴GE=EM,AG=BM=2,
∵EF⊥MG,
∴FG=FM,
∵BF=4,
∴MF=BF+BM=2+4=6,
∴GF=FM=6.
【知识点】四边形综合题
2.自主学习,学以致用
先阅读,再回答问题:如图1,已知△ABC中,AD为中线.延长AD至E,使DE=AD.在△ABD和△ECD中,AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=CD,所以,△ABD≌△ECD(SAS),进一步可得到AB=CE,AB∥CE等结论.
在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.
解决问题:如图2,在△ABC中,AD是三角形的中线,F为AD上一点,且BF=AC,连结并延长BF交AC于点E,求证:AE=EF.
【解答】
证明:延长AD到G,使DF=DG,连接CG,
∵AD是中线,
∴BD=DC,
在△BDF和△CDG中
∴△BDF≌△CDG,
∴BF=CG,∠BFD=∠G,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠AFE=∠G,
∵BF=CG,BF=AC,
∴CG=AC,
∴∠G=∠CAF,
∴∠AFE=∠CAF,
∴AE=EF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
3.阅读并解答问题.
如图,已知:AD为△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.
证明:延长AD至E使得DE=AD,连接EC,则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CED中
,
∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE
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