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“将军饮马模型”在圆锥曲线中的简单应用

关键词 数学教学 教学研究 将军饮马模型 最值问题

摘要 圆锥曲线中距离的最值问题是高中数学常考知识点，是区分学生数学能力的重要知识板块.圆锥曲线中距离的最值问题既能很好地考查学生对圆锥曲线定义的掌握程度，又能很好地考查学生的思维方法和数学思想方法.圆锥曲线中距离的最值问题，具有灵活性强、计算量不大、新颖创新等特点.本节课借助“将军饮马模型”来探究圆锥曲线中距离的最值问题，探讨其解题策略，从而归纳总结出这类问题的解题规律，提高学生的解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的培养.

一、故事情境引入

海伦是古希腊一位特别著名的学者，他精通数学和物理．有一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个困扰他很久的问题：将军他每天从城堡A地骑马出发，然后去河边饮马，再去河岸同侧的城堡B地视察工作，问他应该怎么走才能使得这段路程最短？

这个故事被我们称为“将军饮马”问题.师：同学们，你们知道海伦是怎么解决的吗？

（大家踊跃地回答）

生1：城堡A、城堡B都在河的同侧，在河边找一点P,这

时将军所走的路程是

AP?BP,而显然

AP?BP?AB,要使这段路程最短，就要使A、P、

B三点共线即可，这时我们作城堡A点关于河所在直线l的对称点A1,连接A1B交河所在直线l于点P，也就找到了最佳饮马地点.

师：回答地非常棒！我们就把解决这类的数学问题称为“将军饮马模型”，即“异侧和最小”.

设计意图：柏拉图说:“良好的开端，是成功的一半”，在课堂情境的设置中，我以一个大家耳熟能详的“将军饮马”故事的来引入，能充分调动大家学习的兴趣，为后面的模型应的层层递进，螺旋上升做好铺垫.

二、模型应用

师：在“将军饮马模型”中动点的运动轨迹是河所在的直线，那这条河它可不可以是曲线呢？

大家点头：可以是曲线.

师：可以是我们目前学的圆锥曲线吗？

大家齐声说：可以是椭圆、抛物线、双曲线.

在抛物线中的应用

例1：已知F为抛物线y2?4x的焦点，点

P?x0,y0

是抛物线

上的一点，又点A?3,2求,

PA?PF的最小值.

教师通过几何画板动态演示，让学生们直观地观察并思考.师：有同学找到解题的思路吗？

生2：老师，我观察了几何画板动态演示中的数据，动点P在抛物线上滑动时，最小值数据为4，此时A、P、D三点共线，所以作出抛物线的准线l:x??1，过P点

向准线作垂线交于D点，利用抛物线定义知PA?PF?PA?PD，当A、P、D

三点共线时，PA?PD最小，即PA?PF最小.

师：为什么想到向抛物线的准线作垂线呢？

生3：“将军饮马模型”中异侧和最小，而点A、P均在抛物线内部，位于曲线的同

侧，我想到了抛物线的定义PF?PD，这样垂足D和A点位于曲线的异侧.

师：非常厉害,思路非常正确！大家能归纳一下生2的解题过程中有那几个关键的步骤吗？

生4：第一、利用抛物线的定义得到PA?PF?PA?PD；第二、当A、P、D

三点共线时，距离之和最小.

设计意图：学生刚刚接触这类圆锥曲线的的最值问题时，由于这类题目相对抽象，没有直观感觉，往往找不到解题思路，所以本环节教师采用几何画板为探索的辅助工具，营造一个有利于学生观察、思考、类比、猜想的学习环境，促进学生积极主动的参与和探索，解决未知问题.

师：给大家1分钟时间思考变式1.

变式1：将例1的点A?3,2

换成点Q?0,2

,求x0?PQ的最小值.

师：点Q在抛物线内部还是外部？如何判断？x0的几何含义是什么？

（放慢语速，启发学生思考）有策略的同学请举手（1/3的同学举手示意），小组内部交流1分钟的时间，然后小组代表展示.

生5：直接连接FQ即可，x0的几何含义是P到y轴的距离，比P到准线的距离少1，

根据抛物线的定义，

x0?PQ?PF?PQ?1,故求x0?PQ的最小值即求

PF?PQ的最小值，而F、Q位于抛物线的异侧，直接连接FQ，则x0?PQ最

5小值等于FQ?1? ?1.

5

师：给大家1分钟时间思考变式2.

变式2：再将例1的点A?3,2

换成直线l1:4x?3y?6?0，求点P

到抛物线准线的距离与到直线l的距离之和的最小值.

师：有思路的同学请举手（1/2的同学举手示意），小组代表上台讲解.

生6：过点F向直线l1