第三章-数值积分.ppt

定理：对一般型公式且若则公式是稳定的。证明：记因即当有故公式稳定。回看N-C公式：当n≤7时,N-C公式系数大于零，公式稳定；当n≥8时,N-C公式系数有正有负,公式不稳定。3.当n为偶数时,N-C公式至少有n+1次代数精度论证：n为偶数，则为整数，令进一步有令易知即被积函数为奇函数，故由此可知公式有n+1次代数精度.证毕。4.几种低阶N-C公式的积分余项估计预备知识——积分第二中值定理：设可积且不变号，则使特别地时，即为积分中值定理。对梯形公式：对Simpson公式：直接估计不可行，故作H-插值函数，使得满足：但Simpson公式至少有3次代数精度，令有对Cotes公式（n=4）,类似n=2：综合以上§3复化求积公式问题：对N-C公式当n≥8时不能用，只能使用n≤7时的N-C公式。若计算时使用n≤7的N-C公式，未达给定精度，如何办？解答：类似“分段插值”，可采取“分段积分”方法。具体地说：对，等分记在每个小区间上利用低阶的N-C公式（n≤7），得到积分的近似值，记为。则以作为的近似值，此求积方法称为复化求积方法。特别注意：复化过程中的两个等分过程，复化等分和N-C等分。复化梯形公式：复化Simpson公式：复化Cotes公式：误差分析：预备知识：设取有即由介值定理：使得即对复化梯形公式对复化Simpson公式对复化Cotes公式§4Gauss型求积公式一、问题对插值型求积公式最小的代数精度：n最大的代数精度：？更一般地：带权函数的积分对这种类型的积分完全类似于的情形，有两种类型的求积公式（一般型及插值型），也有代数精度的概念。1.插值型公式的引进：在上取且已知，。作L-插值：2.对代数精度的概念，亦有结论：a.公式有m次代数精度当时，公式精确成立；当时，不精确成立。b.一般型公式为插值型公式至少有n次代数精度。回看问题：插值型求积公式最小代数精度为n，最大代数精度？Th1：插值型公式的代数精度严格小于2n+2。论证：取2n+2次多项式公式左=公式右=左≠右于是：n+1个节点的求积公式代数精度最大可能是2n+1。定义：n+1个节点的插值型式若代数精度为2n+1次，则称为Gauss型求积公式。二、G-型公式的构造1.代数精度法对插值型公式