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小学数学竞赛学习材料

四年级暑期

第一讲幻方

相传在三千多年前的夏禹时代，从洛水(就在我们河南洛阳附近)浮出一只神龟，背上有一个神秘的图形如下：

000

000

d8o

0

经研究，原来是一个数字方阵图：

进一步计算又发现：它的每行、每列，甚至每条对角线上三个数字的和

都是15。真是奇妙无比。于是，人们就把它叫做“幻方”。“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。把那个相等的和就叫做“幻和”。

后来，幻方从国内传到国外，引起了人们极大的兴趣，并把它推广到更为一般的情况：如果有n2个数，可以排成一个n行、n列的方阵，并且，它的n行、n列和2条对角线上，n个数的和都相等，就把这个数阵叫做“n阶幻方”。显然，其幻和等于这n2个数的和除以n。

我国宋朝数学家杨辉对幻方进行过深入的研究，取得了巨大的成绩。在他的著作里，对三阶幻方的制做方法，有这样四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”。这四句话的意思是：把九个数从小到大斜着排列成正方形，上下两个顶点上的数交换，左右两个顶点上的数交换，四条边中间的数向外面突出。左下图就是这个过程的示意图，右下图是最后得到的结果：

四维突出—

四维突出—①

④②

⑦⑤③

⑧⑥⑨

④⑨②③⑤⑦⑧①⑥

九子斜排左右相更

上下对易

例1用5、7、9、11、13、15、17、19、21这九个数作一个三阶幻方。

解：用上面的方法得到：

7

21

11

17

13

9

15

5

19

幻和是(5+7+9+11+13+15+17+19)÷3=39。经检验，完全符合要求。

例2用1、2、3、……、16这16个数作一个四阶幻方。

解：幻和等于(1+2+3+…+16)÷4=34。先把这16个数按从小到大的顺序填入4×4的方格里(图1):

图1图2图3

计算发现，两条对角线上四个数的和已经符合要求，但是，由于从小到大排列的缘故，使得行、列上的数出现了上小下大的情况，显然不符合要求，由此想到，把同一条对角线上的数上下对调如图2,对调的结果如图3,经检验，完全符合要求。

幻方的作法不是惟一的，即使是对同一种方法所得到的结果，也可以进行各种变换。上面的三阶幻方就有八种不同的形式。

现在已经知道，四阶幻方有880种不同的形式。这里有一个极为特殊的四阶幻方(下图)。请你算一下它的每行、每列、每条对角线上，还有四个角上，以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和。这些和竟然都相等，真是妙不可言!这也许正是它被称为“魔鬼幻方”

的原因吧。

例3用1、2、3、……、25这25个数作一个五阶幻方。

解：编制五阶和五阶以上的奇数阶幻方，有一个通用的方法。以五阶幻方为例：

(1)把第一个数1填在最上行的中央(1填上行正中央)(a);

(2)接着把2填在1的右上方(依次斜向右上方)(b);

(3)2从上面出框了，把2填在同一列的最下格(上面出框往下写)(b);

(4)接着把3、4斜着向右上方填。4从右边出框了，把4填在同一行的最左格(右面出框左边放)(c);

(5)接着把5、6斜着向右上方填，6的右上方已经有1了，把6填在5的下面(前面有数转下格)(d);

(6)接着把7、8、9、……、15按照上面的方法填到适当的格子里。15已经到了右上角，把16填在15的下面(右上角处转下行)(e);

(7)就按照这样的方法继续填下去，直到填完。

2

(a)(b)(c)(d)(e)

请你按照上面的口诀(粗体字),继续完成这个五阶幻方。然后再验证一下，看看它的每行、每列、每条对角线上五个数的和，是不是都相等，等于多少?

制作幻方不一定要从1开始，一般说来，只要所填的一串数，能够组成等差数列就可以。在某些特殊情况下，即使不是等差数列，也能制作出幻

方。

五阶以上的奇数阶幻方，制作起来虽然比较耗费时间，但是有上面的方法可以遵循，据说，有一位小朋友就曾经作出了101阶幻方。而六阶和六阶以上的偶数阶幻方的制作，要复杂得多，我们在这里就不再研究了，有兴趣的同学可以参考有关书籍。

练习一

1.在左下方，用1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个数，作一个三

阶幻方。

2.在右上方，用4、5、6、8、9、10、12、13、14这9个数，作一个三阶幻方。

3.在左下方，用2、4、6、……、32这16个数，作一个四阶幻方

4.在右上方，用1、4、7、10、……、