计算机图形学 第3版 第4章 曲线和曲面.pptx

2024/10/11;第四章曲线和曲面;第一节曲线和曲面表示的基础知识;在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数t的一个函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：;关于参数t的切矢量或导函数是：

曲面写为参数方程形式为:

曲线或曲面的某一部分，可以简单地用a≤u,w≤b界定它的范围;直线段

端点坐标分别是

P1[x1,y1],P2[x2,y2]，

直线段的参数表达式是：

P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP2

0≤t≤1；

参数表示相应的x,y坐标分量是：

x(t)=x1+(x2-x1)t

y(t)=y1+(y2-y1)t0≤t≤1;参数方程具有如下优点：

有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。

便于坐标变换

便于处理斜率为无限大的问题，不会因此中断计算

代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。

t∈[0,1],直接定义了边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。

易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。;曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是逼近的曲线或曲面。

插值构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。

逼近构造一条曲线，使它在某种意义上最接近这些型值点但不完全通过，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。;参数连续性

一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。

几何连续性

两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参数导数成比例而不是相等，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk。

零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。

一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。

二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。;曲线段间C1、C2和G1、G2连续性???义

（1）Q1(1)=Q2(0),则Q1(t)和Q2(t)在P处有C0和G0连续性

（2）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C1连续性

（3）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G1连续性;曲线段间C1、C2和G1、G2连续性定义

（4）Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0和C1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C2连续性

（5）Q1(1)和Q2(0)在P处已有G0和G1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)方向相同但大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G2连续性

（6）推广之，Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0、C1、…、Cn连续，若Q(n)1(1)和Q(n)2(0)在P处大小和方向均相同，则说Q1(t)和Q2(t)在P处具有Cn连续性;曲线段间C1、C2和G1、G2连续性定义

（1）Q1(1)=Q2(0),则Q1(t)和Q2(t)在P处有C0和G0连续性

（2）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C1连续性

（3）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G1连续性

（4）Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0和C1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C2连续性

（5）Q1(1)和Q2(0)在P处已有G0和G1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)方向相同但大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G2连续性

（6）推广之，Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0、C1、…、Cn连续，若Q(n)1(1)和Q(n)2(0)在P处大小和方向均相同，则说Q1(t)和Q2(t)在P处具有Cn连续性;C0连续的线性插值;C2连续的样条插值;光顺

光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：

（1）具有二阶几何连续（G2）；

（2）不存在多余拐点和奇异点；

（3）曲率变化较小。;第二节Hermite多项式;一、Lagrang