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(完整版)初等数学研究(补充版)

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初等数学研究

1.（P383例4）在△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC的外侧分别以AB、AC为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE交AB于F.求证：EF=FD。

证明：作EH⊥AB交AB于H点。

∵∠CAD=60°，∠BAC=30°

∴∠EHF=∠DAF=90°

设BC=a，则AC=EH=a

又∵∠EFH=∠DFA（对顶角）

∴△EFH≌△DFA（AAS)

∴EF=FD

2.(P395例6)已知设H是△ABC的垂心，O是外心。OD⊥BC于D。如图,求证：AH=2OD。

证明:取AB、H的中点M、N，连接OM，MN,DN

则MN∥AH∥ODND∥CH∥OM

∴四边形MNDO是平行四边形。

∴OD=MN=AH

即AH=2OD

3。（P423例21)在△ABC的三边AB、BC、和CA上分别取点M、K和L，使MK∥AC，ML∥BC;设BL、MK交于P，AK、ML交于Q。如图，求证：PQ∥AB。

证明:∵ML∥BCMK∥AC

∴

∴因此PQ∥AM即PQ∥AB

4。(P430例26）设A、B为平面上的二定点，C为平面位于直线AB同侧的一动点,各以AC、AB为边，在△ABC之外作正方形CADI、CBEJ,如图。

求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。

证明:自D、E、C和M分别作AB的垂线，设其垂足依次

为G、H、K和N.

∵AD=AC∠1=∠2∠CKA=∠AGD=90°

∴△ADG≌△CAK（AAS）

∴AG=CKDG=AK

同理:CK=BHEH=BK

∴AG=BH

∵N平方HG（MN是梯形中位线)

∴N平分AB

∵EH+DG=BK+AK=AB

∴MN=(EH+DG）=AB

又∵MN⊥AB∴DE的中点M是定点.

5.（P437例28)在任一三角形中，外心、垂心和重心共线.

证明：∵G为三角形重心

∴AG=2DG

又由P395例6知AH=2DO

又∵OD∥AH

∴∠1=∠2

∴△DOG∽△AHG

∴∠OGD=∠HGA

∴H、G、O三点共线

6。（P437例29)三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线。

证明:假定：任意点P位于弧BC上，如图,设X、Y

和Z分别是自P向BC，CA和AB所引垂线之垂足，

再连结B、PC，则有

P、X、Z、B共圆∴+∠ABP=180°

ABPC内接于圆∴∠ABP=

P、X、C、Y共圆∴=

∴180°即X、Y、Z共线

7.(P443例30）在直角梯形ABCD中,以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E，自E作EF⊥AB于F,连结AC交EF于M.求证：AC平分EF 。

证明:∵AD∥EF∥BC

∴

∵DE=AD∴

又∵△ACD∽△MCE

∴

∴∴

又∵CE=BC

∴∴FM=EM

即AC平分EF。

8。（P457例42）在等腰Rt△ABC中,AB=AC，D是AC的中点，连结BD，过A作BD的垂线交BC于E，连结DE，如图，求证:∠ADB=∠CDE。

证明：作FC⊥AC交AC于C点，交AE延长线于F点,则

Rt△ACF≌Rt△BAD（ASA）∴∠1=∠2CF=AD=DC

∵∠ECF=∠DCE=45°∴△CFE≌△CDE∴∠3=∠2

∴∠1=∠3

即∠ADB=∠CDE

9。(P475例1.48蝴蝶定理）设AB是圆O的弦，M是AB的中点，现过M任作二弦CD、EF，记P、Q为AB依次与CF、ED的交点。如图，求证：PM=MQ。

证明：将MF沿直线OM翻转至MF，则有

MF=MF,∠1=∠1

∵D、E、F、F’四点共圆

∴∠5=∠4

又∵AB∥FF’

∴∠5=∠1=∠1

∴∠1’=∠

∴M、F’、D、Q四点共圆

∴∠2’=∠3=∠

∴△MFP≌△MFQ(ASA）

∴MP=MQ

10。（P481例1。49）在△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，E是AD上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A，

求证：BD=2CD。

证明:在BE上取BF=AE

∵∠BED=∠BAC

+∠BAE=∠A

+∠BAD=∠BED

∴=

∴△ABF≌△CAE(SAS）

∴∠1=∠2∠AFB=∠CEA

∴∠3=∠4=∠A

∠5=∠BAC-(∠2+）=∠BAC-∠4=∠A

∴∠3=∠5∴AE=FE

∴B