数列、极限、数学归纳法·函数思想在等差数列中的应用.pdfVIP

数列、极限、数学归纳法·函数思想在等差数列中的应用·教案

教学目标

1．对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的认识进一步深化，提高学生解决问

题的能力．

2．帮助引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的研究方法研究数列．

教学重点和难点

用函数的思想研究等差数列．

教学过程设计

（一）复习引入

师：我们已学习了数列的基本知识，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今

天，我们一起应用这些知识来解决一些问题．请看题目．

练习：已知｛an｝是等差数列，其中a1=31，公差d=-8．求数列前n项和的最大值，并

求出对应n的取值．

师：拿到这个题目，大家有什么想法？

生：我一下子得不出Sn的最大值．不过……

师：那你能得出些什么？

生：我可以得出a2=a1+d=31-8=23，a3=a1+2d=31-8×2=15，a4=a1+3d=31-8×3=7，

a5=a1+4d=31-8×4=-1，a6=a1+5d=31-8×5=-9，……

（学生口述，老师板书）

师：既然得出了这些，不就可以得到对应的Sn的值了吗？

生：可以．S1=31，S2=S1+a2=54，S3=S2+a3=69，S4=S3+S4=76，S5=S4+a5=75，

S6=S5+a6=66，……（老师板书）

师：从这之中，你又能发现什么呢？

生：可以看出当n=4时，Sn取得取大值，最大值为S4=76．在前4项中，Sn越来越大，

从第4项开始，Sn又越来越小．

师：从前几项中，确实可以看出S4最大，可是，当n再大一些的时候，Sn会不会又变

大呢？

生：不会的．由于a5＜0，d＜0，则ak＜0（k≥5，k∈N+），进而Sk＜S4（k≥5，k

∈N+）．因此当n=4时，Sn有最大值，S4=31+23+15+7=76．

（学生口述，老师板书）

师：他根据数列前n项和的定义，解决了这道题．但是把数列各项分别求出来，未免有

些麻烦．请同学们思考他的解题过程是否存在规律？我们能否寻求到更好的解题方法？

（二）新课

师：在刚才的练习中，我们求出了一个数列前n项和的最大值．现在大家想这样一个问

题，是不是所有的等差数列都有前n项和的最大值呢？

生：不是的，比如自然数组成的等差数列1，2，3，4，…，n，…，就没有最大值．

师：那到底什么样的等差数列前n项和有最大值呢？

生：首项大于0，公差小于0的等差数列就有前n项和的最大值，即an=a1+（n-1）d中，

a1＞0，d＜0的时候？

师：这时的数列有什么特点？

生：数列中的各项分布在一条横截距为正，斜率为负的直线上，也就是说可以把等差数

列当作一个一次函数来看待．

师：同学们已经知道，数列是一种特殊的函数，它是定义在自然数集（或它的子集｛1，

2，3，…，n｝）上的函数．当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值就是数

列．那么等差数列会是什么样的函数？这个问题我们又该如何下手研究呢？

生甲：首先研究等差数列的通项公式．因为它体现了数列的项与项数的对应关系．

在等差数列｛an｝中，公差为d（d是常数）．当d≠0时，其通项公式an=a1+（n-1）

d=dn+（a1-d）．f（n）=dn+（a1-d），是关于自变量n的一次函数．

反之，若an可写成an=an+b的形式，则an+1-an=[a（n+1）+b]-（an+b）=a，即｛an｝

是以a为公差的等差数列．

所以，通项an可以写在关于n的一次函数形式是｛an｝成等差数列的充要条件．

师：想得好，推得也好．那么，等差数列的通项an一定是项数n（n∈N+）的一次函数

吗？

生乙：不一定．当d=0时，an=a1，而一次函数要求一次项的系数一定不为0，所以当

d=0时，an不是关于n的一次函数．只有在d≠0时，才可以进行刚才的研究．但不管

公差d是否等于0，我们都可以认为｛an｝分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率．师：

完全正确．这样就得到d≠0时，an是关于n的一次函数，我们实际是在用函数思想来

研究数列．这正是我们今天要研究的课题．（板书课题）比如，我们可以研究数列的单

调性、前n项和最大（小）值等问题．首先来考虑，数列的大小变化受谁影响？

函数思想是中学阶段学生所接触