专题3.3 垂径定理及其推论【十大题型】（举一反三）（浙教版）（原卷版）.docxVIP

专题3.3垂径定理及其推论【十大题型】

【浙教版】

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【题型1由垂径定理及其推论推断正误】 1

【题型2依据垂径定理与勾股定理综合求值】 2

【题型3依据垂径定理与全等三角形综合求值】 3

【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 5

【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 6

【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 7

【题型7垂径定理的实际应用】 8

【题型8垂径定理在格点中的运用】 9

【题型9利用垂径定理求整点】 11

【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 12

【学问点1垂径定理及其推论】

（1）垂径定理

????垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

????推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

????推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

????推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

【题型1由垂径定理及其推论推断正误】

【例1】（2025春·九班级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论中不肯定正确的是（）

A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE

【变式1-1】（2025春·北京海淀·九班级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:

甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.

下面对这两个命题的推断,正确的是

A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错

【变式1-2】（2025春·全国·九班级专题练习）下列命题正确的是（????）

A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心

C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦

【变式1-3】（2025·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）

A．DE=BE B．BC

C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形

【题型2依据垂径定理与勾股定理综合求值】

【例2】（2025·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是（????）

??

A．3 B．33 C．23

【变式2-1】（2025春·浙江·九班级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为．

【变式2-2】（2025·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则AE2+C

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2-3】（2025春·江苏泰州·九班级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．

（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；

（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；

（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），PM

【题型3依据垂径定理与全等三角形综合求值】

【例3】（2025春·江苏·九班级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则

??

A．22 B．32 C．42

【变式3-1】（2025春·全国·九班级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．

【变式3-2】（2025·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．

（1）求证：OG⊥MN；

（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．

【变式3-3】（2025春·江西赣州·九班级统考期末）按要求作图

(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP；

(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形．

【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】

【例4】（2025春·九班级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则a

A．4 B．3+2 C．32

【变式4-1】（2025·全国·九班级专题练习