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专题3.3垂径定理及其推论【十大题型】
【浙教版】
TOC\o1-3\h\u
【题型1由垂径定理及其推论推断正误】 1
【题型2依据垂径定理与勾股定理综合求值】 2
【题型3依据垂径定理与全等三角形综合求值】 3
【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 5
【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 6
【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 7
【题型7垂径定理的实际应用】 8
【题型8垂径定理在格点中的运用】 9
【题型9利用垂径定理求整点】 11
【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 12
【学问点1垂径定理及其推论】
(1)垂径定理
????垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)垂径定理的推论
????推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
????推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
????推论3:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
【题型1由垂径定理及其推论推断正误】
【例1】(2025春·九班级单元测试)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,连接BC、BD,下列结论中不肯定正确的是()
A.AE=BE B.AD=BD C.OE=DE
【变式1-1】(2025春·北京海淀·九班级人大附中校考阶段练习)在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:
甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.
下面对这两个命题的推断,正确的是
A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错
【变式1-2】(2025春·全国·九班级专题练习)下列命题正确的是(????)
A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B.弦的垂直平分线经过圆心
C.平分弦的直径垂直于弦 D.平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦
【变式1-3】(2025·福建三明·泰安模拟)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是()
A.DE=BE B.BC
C.△BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形
【题型2依据垂径定理与勾股定理综合求值】
【例2】(2025·贵州遵义·统考三模)在半径为r的圆中,弦BC垂直平分OA,若BC=6,则r的值是(????)
??
A.3 B.33 C.23
【变式2-1】(2025春·浙江·九班级统考阶段练习)如图,已知⊙O的半径为5,弦AB=8,点E在AB上运动,连结OE,过点E作EF⊥OE交⊙O于点F,当EF最大时,OE+EF的值为.
【变式2-2】(2025·湖北孝感·校联考一模)如图,△ABC内接于⊙O,OC⊥OB,OD⊥AB于D交AC于E点,已知⊙O的半径为1,则AE2+C
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2-3】(2025春·江苏泰州·九班级校考阶段练习)如图,在⊙O中,AB是直径,P为AB上一点,过点P作弦MN,∠NPB=45°.
(1)若AP=2,BP=6,求MN的长;
(2)若MP=3,NP=5,求AB的长;
(3)当P在AB上运动时(∠NPB=45°不变),PM
【题型3依据垂径定理与全等三角形综合求值】
【例3】(2025春·江苏·九班级专题练习)如图,⊙O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE.若AE=1,AB=CD=6,则
??
A.22 B.32 C.42
【变式3-1】(2025春·全国·九班级专题练习)如图,AB为圆O直径,F点在圆上,E点为AF中点,连接EO,作CO⊥EO交圆O于点C,作CD⊥AB于点D,已知直径为10,OE=4,求OD的长度.
【变式3-2】(2025·上海·统考中考真题)已知:在圆O内,弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点,联结MN,OG.
(1)求证:OG⊥MN;
(2)联结AC,AM,CN,当CN//OG时,求证:四边形ACNM为矩形.
【变式3-3】(2025春·江西赣州·九班级统考期末)按要求作图
(1)如图1,已知AB是⊙O的直径,四边形ACDE为平行四边形,请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP;
(2)如图2,已知AB是⊙O的直径,点C是BD的中点,AB∥CD,请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P,使四边形ABPD是平行四边形.
【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】
【例4】(2025春·九班级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a3),半径为3,函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42,则a
A.4 B.3+2 C.32
【变式4-1】(2025·全国·九班级专题练习
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