初中几何辅助线归纳.pdf

初中数学知识归纳添辅助线的规律

一添辅助线的目的：

解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几

何关系。这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系

十分明确的简单的几何图形之中。如一个三角形（特别是直角三角形、

等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个

圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。这种思路可称为条件集

中法。

为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件

和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造

一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似

三角形。以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要

添加辅助线。

添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：

⑴由所求决定：问什么，先要作什么。

⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提

供的性质定理添加辅助线。

⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一

个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三

角形而添加辅助线。

二添辅助线的规律：

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（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平

分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。如图

1）

②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用

直角Δ斜边上的中线的特殊性质。如图2）

③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。如图

3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三

角形。如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构

造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。如图5、6）；

或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图7、8）。或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四

边形。如图9）。

④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角

Δ。如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。

如图11）。

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⑤有角平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相

关连线（构造两个全等Δ。如图12、13）

⑥有角平分线遇垂线：常延长垂线（构造等腰Δ。如图14）。

（2）梯形：

①延长两腰交于一点（构造两相似Δ。如图15），

②由小底的一端作一腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差

的Δ和一平行四边形。如图16）。

③由小底的两端作大底的垂线（构造两直角Δ和一矩形。如图17）。

④有对角线时：由小底的一端作另一对角线的平行线（构造一集中

有两对角线及上下两底和的Δ和一平行四边形。如图18）。

⑤连小底一端与另一腰中点并与大腰的延长线相交（构造两全等

Δ及一与梯形等高等积的Δ。如图19）。

⑥过一腰的中点作另一腰的平行线（构造两全等Δ及与梯形等积

的平行四边形。如图20）。

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⑦过小底的中点分别作两腰的平行线（构造一集中有两腰及上下

两底差的Δ和两个平行四边形。如图21）。

（3）圆：

①有弦：连过弦端点的半径，连垂直于弦的直径或弦心距（构造

直角Δ，便于运用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数解题）；或作过弦

一端点的切线及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图22）。

②有直径及垂直直径的弦或半弦，连结弦与直径的端点（构造三

个相似的直角Δ，便于运用直角Δ的性质及射影定理。如图23）。

③圆外有切线：连过切点的半径或直径（构造垂直关系）；

④圆外有两条相交切线：连过切点的半径，并作切线交点与圆心

的连线（构造两全等的直角三角形）；或连结两切点（构造一等腰Δ、三

对全等的直角Δ、被切线交点与圆心的连线垂直