北师版高考理科数学一轮总复习课后习题 解答题专项1 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题.docVIP

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第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题

解答题专项练

1.已知函数f(x)=aex+1,g(x)=lnx.

(1)讨论h(x)=g(x)+xf(

(2)若xf(x)-g(x)+1,求a的取值范围.

解:(1)因为f(x)=aex+1,g(x)=lnx,

所以h(x)=g(x)+xf(

h(x)=1x+a=1+ax

①当a≥0时,h(x)0,h(x)在(0,+∞)上是递增的;

②当a0时,当x∈0,-1a时,h(x)0;当x∈-1a,+∞时,h(x)0.

所以h(x)在0,-1a上是递增的,在-1a,+∞上是递减的.

(2)因为xf(x)-g(x)+1,

所以axex-(lnx+x)+1,

即aex+lnx-(lnx+x)+1.

令lnx+x=t,则aet1-t,t∈R.

所以a1-

令φ(t)=1-te

当t2时,φ(t)0,所以φ(t)在(-∞,2)上是递减的;

当t2时,φ(t)0,所以φ(t)在(2,+∞)上是递增的,

所以φ(t)≥φ(2)=-1e2,a-

故a的取值范围为-∞,-1e2.

2.已知函数f(x)=12x2-alnx-a,g(x)=ex

(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;

(2)对于任意的x1∈[0,1]都存在唯一的x2∈[1,e]使得g(x1)=f(x2),求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

f(x)=x2-ax,当a≤1时,x∈[1,e],f(x)≥0,f(

当a≥e2时,x∈[1,e],f(x)≤0,f(in=f(e)=e2

当1ae2时,令f(x)=0,解得x=a,则x∈[1,a),f(x)0,f(x)是递减的,

当x∈(a,e]时,f(x)0,f(in=f(a)=-a2

综上,当a≤1时,f(in=-a2

当a≥e2时,f(x)min=e2

(2)因为对于任意的x1∈[0,1]都存在唯一的x2∈[1,e]使得g(x1)=f(x2)成立,

所以g(x)在x∈[0,1]的值域是f(x)在x∈[1,e]的值域的子集.

因为g(x)=ex-1,x∈[0,1],

所以g(x)≥0,g(x)是递增的,g(x)的值域为[0,e-2].

由(1)知当a≤1时,f(x)在[1,e]上单调递增,f(1)=12-a,f(e)=e

所以f(x)在[1,e]上的值域为12-a,e22-2a,所以12-

当1ae2时,x∈[1,a],f(x)是递减的,x∈[a,e],f(x)是递增的,且f(1)0,f(a)0,所以只需f(e)≥e-2,即e22-2a≥e-2,所以1a≤

当a≥e2时,因为f(x)在[1,e]上是递减的,且f(x)≤f(1)=12

综上,实数a的取值范围是12

3.已知函数f(x)=aex-4,g(x)=lnx-x-1,其中e为自然对数的底数,a∈R.

(1)若对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),求a的取值范围;

(2)若函数y=f(x)的图像始终在函数y=g(

解:(1)对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(ax,

因为g(x)=lnx-x-1,

则g(x)=1x-1=1-xx≥0对任意的x

因为f(x)=aex-4,

所以当a=0时,f(x)=-4,不满足f(ax,故a≠0;

当a0时,f(x)=aeax=f(1)=ae-4,即ae-4≥-2,解得a≥2e

当a0时,f(x)=aex-4在(0,1]上是递减的,所以f(x)=aex-4在(0,1]上没有最大值,不满足题意,

综上,a的取值范围为2e

(2)因为函数y=f(x)的图像始终在函数y=g(x)x-2的图像上方,所以f(x)g(

令t=xex0,设h(t)=lnt-1t

当0te2时,h(t)0,此时函数h(t)是递增的,当te2时,h(t)0,此时函数h(t)是递减的,

所以,h(t)max=h(e2)=1e2,则a1e

4.已知函数f(x)=alnx+12(x-1)2,a∈

(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;

(2)若任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥0,求实数a的取值范围;

(3)设g(x)=lnx+12x2+ax+12,若存在x0∈

解:(1)当a=-2时,f(x)=-2lnx+12(x-1)2,定义域为(0,+∞),

∴f(x)=-2x+x-1=x

令f(x)=0,解得x=2,x=-1(舍去).

当0x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0,∴当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=-2ln2+12

(2)任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥0,即当in≥0恒成立,

f(x)=ax+x-1=x2-

①当Δ≤0,即1-4a≤0,a≥14

h(x)≥0,即f(x