北师版高考理科数学一轮总复习课 课时规范练24 余弦定理、正弦定理及应用举例.docVIP

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课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例

基础巩固组

1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sinA=35,则sinB的值为(

A.15 B.115 C.1

答案:A

解析:由正弦定理可知asinA=bsinB,即3b3

2.在△ABC中,BC=17,AC=3,cosA=13,则△ABC的面积为(

A.42 B.2 C.4 D.9

答案:A

解析:因为BC=17,AC=3,cosA=13

由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,

所以AB2-2AB-8=0,

所以AB=4.

又因为cosA=13,A∈

所以sinA=22

所以S△ABC=12AB·AC·sinA=12×4×3×22

3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S△ABC=c2-a2-

A.π3 B.2π

C.3π4 D.

答案:C

解析:由S△ABC=12

得c2

整理得c2=a2+b2+2absinC,

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,

所以sinC=-cosC,

即tanC=-1.

又C∈(0,π),

所以C=3π4

4.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30°,a=3,若这个三角形有两解,则b的取值范围是()

A.3b≤23 B.3b23

C.b23 D.b≤23

答案:B

解析:当△ABC有两解时,bsinAab,即bsin30°3b,解得3b23.

5.(江西新八校第二次联考)在△ABC中,b=3,c=2,B=45°,则此三角形解的情况为()

A.无解

B.两解

C.一解

D.解的个数不能确定

答案:C

解析:∵B是锐角,且cb,

∴CB,

∴C为锐角,满足条件的△ABC只有一个.

故选C.

6.(北京石景山一模)在△ABC中,sin2A=sinBsinC,若A=π3,则B的大小是(

A.π6 B.π4 C.π

答案:C

解析:∵sin2A=sinBsinC,∴由正弦定理得a2=bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,

即(b-c)2=0,得b=c,∴△ABC是等边三角形,B=π3

故选C.

7.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.若a=1,c=7,则C=

答案:π

解析:因为a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,整理得a2+b2-c2

由a2+b2-c2=ab且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),

所以△ABC的面积S=12absinC=12×1×3×

综合提升组

8.(河南开封一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,B=45°,a=23,则△ABC的面积为()

A.23 B.32 C.1+3 D.3+3

答案:D

解析:∵A=60°,B=45°,a=23,∴由正弦定理asinA=bsinB,可得b=

∴△ABC的面积S=12absinC=12×23×22×sin(180°-60°-45°)=26×sin(60°+45°)=26×32×22+

9.(浙江,11)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=14[c2a2-(c2+a2-b22)

答案:23

解析:由题意得S=14

10.(浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35

(1)求sinA的值;

(2)若b=11,求△ABC的面积.

解:(1)∵cosC=35且0Cπ,∴sinC=4

又∵4a=5c,∴ac

由正弦定理得asinA

∴sinAsinC

∴sinA=54×sinC=5

(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,

c2=112+54c2-2×54c×11×35

c2=112+516c2-33

即1116c2+33510

整理得5c2+245c-880=0,

解得c=-245+6452×5

∴a=54×45

∴S△ABC=12absinC=12×5×11×

11.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos2π2+A+cosA=5.

(1)求A;

(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.

解:(1)由题意得6sin2A+cosA=5,

整理得6cos2A-cosA-1=0,解得cosA=12或cosA=-1

又A∈0,π2,所以cosA=12,

即A=π3

(2)由余弦定理a2=b2+c