考研数学二(解答题)模拟试卷121(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学二（解答题）模拟试卷121(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原

点O和点A的直线与曲线Y=ax2围成一平面图形D，求(I)D绕x轴旋转一周所

成的旋转体的体积V(A);(II)a的值，使V(x)为最大。

正确答案：由题意知，y=ax2与y=1一x2的交点为直线OA的方程为(I)旋

转体的体积(II)当a＞0时，得V(A)的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V’(A)＞0；

当a＞4时，V’’(A)＜0。故a=4为V(A)的唯一极大值点，即为最大值点。涉

及知识点：一元函数积分学

2．已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=k，r(α1，α2，…，

αs，β，γ)=k+1，求r(α1，α2，…，αs，β－ξ)．

正确答案：利用定理3．6，只用看β－γ能不能用α1，α2，…，αs线性

表示．由条件知，β可用α1，α2，…，αs线性表示，γ不能用α1，α2，…，

αs，β线性表示，从而也就不能用α1，α2，…，αs线性表示．于是β－γ不

能用α1，α2，…，αs线性表示．从而r(α1，α2，…，αs，β－γ)=k+1．涉

及知识点：向量组的线性关系与秩

3．设f’(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．

正确答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x-1)=(x-1)f(x)｜01-∫01(x-1)f’(x)dx=f(0)-∫

01(x-1)f’(x)dx=-∫01(x-1)arcsin(x-1)2dx=∫01arcsin(x-1)2d(x-1)2∫01arcsintdt=∫

01arcsintdt涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用

4．设A为实矩阵，证明ATA的特征值都是非负实数．

正确答案：ATA是实对称矩阵，特征值都是实数．设λ是ATA的一个特征

值，η是属于A的一个实特征向量，则ATAη=λη．于是ηTATAη=AηTη，

即(η，η)＞0，(Aη，Aη)≥0，因此λ≥0．涉及知识点：特征向量与

特征值，相似，对角化

5．设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A＝(aij)n×n为正定矩阵，令bij

＝aijcicj(i，j＝1，2，…，n)，矩阵B＝(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

正确答案：由bji＝bij，知B对称．若χ1，χ2，…，χn不全为0，则c1

χ1，c2χ2，…，cnχn不全为零，此时，(χ1，χ2，…，χn)B(χ1，χ2，…，

χn)T＝accχχ＝a(cχ)(cχ)＞0，故B正定．涉及知识点：二次型

6．

正确答案：令ex=t，dx=涉及知识点：高等数学部分

7．设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫

01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．

正确答案：因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫

01(tx)dt+e-x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，两边对x求导得

f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，则方程

f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个

特解为y0=axe-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由