北师版高考数学一轮总复习课后习题 第五章 三角函数、解三角形 课时规范练25.docVIP

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课时规范练25

《素养分级练》P309

基础巩固组

1.(山西临汾高三月考)某地对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得∠A=23°,∠C=120°,AC=603米,则A,B间的直线距离约为(参考数据sin37°≈0.6)()

A.60米 B.120米 C.150米 D.300米

答案:C

解析:由题设,∠B=180°-∠A-∠C=37°,在△ABC中,ACsinB=ABsinC,即

2.如图为北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图,为测量大跳台最高点P距地面的距离,小明同学在A点测得P的仰角为30°,∠ABO=120°,∠BAO=30°,AB=60(单位:m)(点A,B,O在同一水平地面上),则大跳台最高高度OP=()

A.45m B.452m

C.60m D.603m

答案:C

解析:在△ABO中,∠ABO=120°,∠BAO=30°,所以∠AOB=30°,又AB=60,由正弦定理,得ABsin∠AOB=AOsin∠ABO,AO=ABsin∠ABOsin∠AOB=60×

3.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在北偏东45°,距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿南偏东75°的方向,以9海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为()

A.12小时 B.2

C.34小时

答案:B

解析:如图,设舰艇在B处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB=21t,CB=9t.在△ABC中,根据余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°,可得212t2=102+81t2+2×10×9t×12,整理得360t2-90t-100=0,解得t=23或t=-512

4.(四川绵阳高三月考)甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°方向的B处,甲船沿北偏东θ方向匀速行驶,乙船沿正北方向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的3倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则 ()

A.15°θ30° B.θ=30°

C.30°θ45° D.θ=45°

答案:B

解析:如图所示,设在点C处相遇,设BC=x,则AC=3x,由题知∠ABC=120°,由正弦定理,得xsin(60

5.(多选)(福建福州高三期中)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离126海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为123海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,下面结论正确的有()

A.AD=24

B.CD=12

C.∠CDA=60°或∠CDA=120°

D.∠CDA=60°

答案:ABD

解析:如图,在△ABD中,B=45°,由正弦定理,得ADsin45°=ABsin60°,AD=126×2232=24,故A正确;在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos30°,因为AC=123,AD=24,所以CD=12,故B正确;由正弦定理,得CDsin30

6.(多选)(安徽池州高三月考)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是()

A.∠CAD=60°

B.A,D之间的距离为152海里

C.A,B两处岛屿间的距离为156海里

D.B,D之间的距离为303海里

答案:BC

解析:由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,由正弦定理,得ADsin30°=30sin45°,得AD=30×sin30°sin45°=152(海里),故B正确;在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=2CD=302

7.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的119倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于

答案:5

解析:依题意,设乙的速度为,所以ACx=1040+500119x,解得AC=1260.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=

8.(辽宁营