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第四章随机变量的数字特征

关键词：

数学期望

方差

协方差

相关系数

1

问题的提出：

在一些实际问题中，我们需要了解随机变量

的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。

例：

在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的

是平均产量；

在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的

平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的

偏离程度；

考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知

家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异

程度。

2

§1数学期望

定义：设离散型随机变量的分布律为：

XP(Xxk)pkk1,2,



若级数绝对收敛，则称级数的值为随机变量

xkpkxkpkX

k1k1



的数学期望，记为即

EX,EXxkpk

k1

定义：

设连续型随机变量X的概率概率为fx,若积分



xf(x)dx绝对收敛(即xfxdx)





则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)





即E(X)xf(x)dx



数学期望简称期望，又称均值。

3

1

例1：设随机变量X的概率密度为f(x),x，

(1x2)

证明X不存在数学期望。

1

证明：xf(x)dxxdx

--(1x2)

2x1

dxln(1x2)

0(1x2)0

由定义，X不存在数学期望。

4

例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命

Xkk1,2,

x

服从同一指数分布，其概率密度为：1ex0

f(x)0

若将这2个电子装置串联联接0x0

组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期