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复变函数学结范文

好久没更新博客了，原因很多；主要的一点是我在中途换了本书，

由《复变函数及应用》换成了《复分析基础及工程应用》，然后又从

头看了。现在大概说说这门学问的学习感受吧！

首先，与微积分相比，它的学习难度要小很多，里面的大部分证

明都是短小精悍，非常容易接受的；但是个别定理，比如柯西定理等

等，由于受到拓扑知识的约束，一般书上都会略去不证。但是，学的

时候一定要注意跟微积分中一些结论的区别，例如：在某一点解析，

那么就有无穷次导数；柯西积分公式，洛朗级数，留数等。

其次，说说跟学习的内容吧，一般而言都是上来先讲复数，然后

将解析函数，然后讲一些常用的函数（例如指数，对数，三角，多项

式），然后讲复积分，然后讲级数，然后讲留数，最后有的书会将初

等映射。相比之下，前3章（复积分之前），都是在打基础，解析函

数的知道满足的关系式，具体函数中注意log的分支，指数函数的定

义稍有奇葩外，都是一些简单的东西，到了复积分，可以说才有了复

变自己的内容。积分不仅在实数上是困难的，在复数上也是一样，所

以这一章的内容主要围绕如何算复积分展开。总体上讲，有3种方法：

参数方程、如果解析，求原函数、柯西积分公式，其中第3种方法是

复变特有的。到了级数部分其实是既熟悉又陌生的。泰勒级数大家都

会，但是讲完泰勒级数以后还会讲一个幂级数，为洛朗级数做准备，

而在讲洛朗级数时，不论前面的定义如何，但落实到具体计算时，都

是转化为与幂级数相关的形式计算。而留数的作用，我理解有的时候

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也是在帮你算积分：柯西定理告诉你，如果解析，那么积分为0，柯

西积分公式告诉你如果有1个极点，那么该如何处理，而留数告诉你，

如果有多个极点，该如何处理。关于留数的应用，很大一部分都是再

算积分（一般或者反常积分）！基本思想也差不多，可见计算积分一

直是所有人的心头大患，想法利用简单的方法搞定是数学家们的期望。

最后，复变还稍微学了一点以前公认的东西，例如代数学基本定

理的证明使用复变就很简单。

最后，对比一下上面提到的两本书吧。个人感觉《复分析基础及

工程应用》是一本更好的教科书，主要原因在于：

1.结构，章节条目更清晰，而且，定义，定理，以及对定理的证

明都用粗体标出来了，书后也有便于查阅用的索引页码。而且清楚的

告诉了读者，那些内容讲了，那些内容只讲了特例，哪些内容没讲。

而且每章后有简短的总结，帮你梳理主要内容。

2.它的讲述的内容更加细致，深入，比如：在初等函数这一章，

专门证明了如何部分分式展开；在积分那一张，他给出的复积分的定

义是分隔求和取极限，而《复变函数及应用》则直接用的是参数方程

定义，感觉很不协调。在级数那一张，它就专门讲了级数收敛的判别

法及相关的内容；而在柯西积分定理中，使用了向量分析（格林公式）

证明，又使用了周线变形法证明；

3.《复分析基础及工程应用》中应用的例子讲的是与通信紧密相

关的傅里叶变换，拉普拉斯变换，z变换等内容，更适合工科学生，

而《复变函数及应用》的例子更偏物理一些。

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4.《复分析基础及工程应用》中共性映射的讲-法是先给出概念，

然后举一些例子；而《复变函数及应用》则是先给出一些映射的例子，

然后再讲共性映射，这样感觉开始会有点迷茫，不过我也就是看一个

基本概念，因为工作中似乎用不到。

当然《复变函数及应用》