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线性代数第五章习题

第五章相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.()

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.()

3.正交矩阵一定是可逆矩阵.()

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.()

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.()

6.实对称矩阵一定可以相似对角化.()

7.相似矩阵的行列式必相同.()

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.()

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定

正交.()

10.若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.()

二、单项选择题

1.设001010100A???=?

,则A的特征值是().

(A)-1,1,1(B)0,1,1(C)-1,1,2(D)1,1,2

2.若12,xx分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则

1122kxkx+也是A的特征向量的充分条件是().

(A)1200kk==且(B)1200kk≠≠且(C)120kk=(D)1200kk

≠=且

3.若n阶方阵,AB的特征值相同,则().

(A)AB=(B)||||AB=(C)A与B相似(D)A与B合同

4.设A为n阶可逆矩阵,λ是A的特征值,则*A的特征根之一是().

(A)1||nAλ-(B)1||Aλ-(C)||Aλ(D)||nAλ

5.矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）.

(A)线性相关(B)线性无关

(C)两两相交(D)其和仍是特征向量

6.||||AB=是n阶矩阵A与B相似的().

(A)充要条件(B)充分而非必要条件

(C)必要而非充分条件(D)既不充分也不必要条件

7.若n阶方阵A与某对角阵相似,则().

(A)()rAn=(B)A有n个不同的特征值

(C)A有n个线性无关的特征向量(D)A必为对称阵

8.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（）.(A)0A(B)存在

矩阵C，使TACC=

(C)负惯性指数为零(D)各阶顺序主子式为正

9．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（）.

(A)A必与一对角阵合同

(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定

(C)若A与正定阵B合同，则A正定

(D)若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同

10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（）.

(A)A可逆(B)1A-正定

(C)A的所有元素为正(D)任给12(,,,)0,TnXxxx=≠均有0TX

AX

二、填空题

1.n阶零矩阵的全部特征值为_______.

2.若AA=2，则A的全部特征值为_______.

3.设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式2AAI++=.

4.特征值全为1的正交阵必是阵.

5.若Byx==??

相似与，则x=，y=.6.二次型212312233(,,,)2fxxxxxxxx

=++的秩为.

7.若2221231231223(,,)22fxxxxxxxxtxx=++++正定，则

t的取值范围是.

8.设aa???=?

是正定矩