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算术-几何平均值不等式
信息来源：维基百科
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实
数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数
，总有：
等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在的情况，设:，那么
.可见。
历史上的证明
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历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出
了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
[1]
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明：
命题：对任意的个正实数，
当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，
假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，
那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成
也就是说
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综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，
可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明
[2]
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的：
由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且
有。
根据二项式定理，
于是完成了从到的证明。
[3]
此外还有更简洁的归纳法证明：
在的情况下有不等式和成立，于是：
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所以
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