《线性代数》第一章行列式-第一节学习资料.ppt

《线性代数》第一章行列式第一节

n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则第一章行列式

第一节、行列式的概念二阶和三阶行列式n阶行列式的定义几种特殊的行列式

二阶行列式一、二阶和三阶行列式设二元线性方程组用消元法解得令称为二阶行列式

同理引进三阶行列式三元线性方程组D=

把n个不同元素排成一列称为这n个元素的全排列。(简称排列）用Pn表示所有排列的种数。定义称在n!种排列中从小到大次序的那个排列为自然排列（或标准排列）.注意：不失一般性，我们将n个元素看成n个自然数，

一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。在一个排列中,如果一个大的数排在小的数之前,就称这两个数构成一个逆序。例如排列312有2个逆序，即31；32定义

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法例如求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;

32514于是排列32514的逆序数为逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义例如：排列312的逆序数为2，故它是偶排列。

3）当每项第一个下标按自然排列时，该项前面正负号取决于第二个下标排列的奇偶性。1）二阶行列式有2！=2项，三阶行列式有3！=6项。2）每项都是分别来自不同的行，不同的列之元素的乘积。特点：

作出表中位于不同的行不同列的n个数的乘积，并冠以符号得到形如二、n阶行列式的定义定义

这样的排列共有n!个，因而形如上式共有n!项，所有这n!项的代数和称为n阶行列式．记为：简记为

特别：当n=1时，一阶行列式不要与绝对值符号相混淆。当n=2、3时，与前面定义的二、三阶行列式一致。行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;

注意：n阶行列式还可以定义为是自然数1，2，3……n的一个排列，式中把列标排成一个自然排列．

证：三、几种特殊的行列式1）主对角行列式

证：依行列式的定义2）副对角行列式

证：故D中可能不为0的元素在所有排列其下标应有能满足上述关系的3）下三角行列式排列只有一个自然排列12……n,所以D不可能为零的项只有一项此时t=0

分析：展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有4）上三角行列式

行列式的定义几个特殊的行列式主对角行列式下三角行列式上三角行列式副对角行列式小结

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