北师版高考理科数学一轮总复习课时练习题 第4章 三角函数、解三角形 任意角、弧度制及任意角的三角函数.docVIP

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课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数

基础巩固组

1.(云南大理高三检测)如果角α的终边过点(1,-3),则sinα的值等于()

A.12 B.-12 C.-

答案:C

解析:点(1,-3)到原点的距离r=(-3)2+

2.(江苏无锡模拟)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则()

A.sinα0 B.sinα0 C.cosα0 D.cosα0

答案:C

解析:由点的坐标可知,角α的终边可能在第一或第四象限,故正弦符号不确定,角α的余弦必为正值.

3.(湖北武汉质检)已知角α为第二象限角,且cosα2=-cosα2,则角α2

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

答案:C

解析:因为角α为第二象限角,

所以α2

又cosα20,所以α

4.(江西赣州高三期末)我们学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫作面度制.在面度制下,角θ的面度数为π3

A.-32 B.-12 C.

答案:B

解析:由面度数的定义可知12θ·r2r

5.(安徽黄山二模)若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为cm2.?

答案:40π

解析:扇形的面积为S=144360·π·102=40π(cm

6.(上海华东师大二附中三模)与2021°终边相同的最小正角是.?

答案:221°

解析:因为°=1800°+221°=5×360°+221°,所以与°终边相同的最小正角是221°.

7.(广西南宁三中模拟)已知角α的终边过点P(8m,3),且cosα=-45,则实数m的值为

答案:-1

解析:由题意,cosα=8m64m2

解得m=-1

综合提升组

8.(广东梅州一模)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田的弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田的弦长,“矢”指的是弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弧田的弦AB等于6米,其弧田的弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田面积为72平方米,则sin∠AOB=

答案:24

解析:如图所示,AB=6,OA=R,CO=d,

由题意可得弧田面积S=12[6×(R-d)+(R-d)2]=7

又因为R2-d2=32=9,所以R=5,d=4.

所以sin∠COA=35,cos∠COA=4

所以sin∠AOB=2×

9.(广东揭阳质检)长为1m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=2dm,弓形高CD=(20-103)cm,估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为cm2.?

答案:3

解析:设截面圆的半径为R,点D在线段CO上,

AD=12AB=10cm,OD=R-CD=R-(20-103

根据垂径定理可得R2=OD2+AD2,解得R=20cm,

所以∠AOD=π6,则有∠AOB=π3,故可得弧AB=20π3cm,结合木材长1m,可得该木材镶嵌在墙中的侧面积约为3

10.(湖南永州三模)下图为某月牙潭的示意图,该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成,其中外堤岸为半圆形,内堤岸圆弧所在圆的半径为30米,两堤岸的连接点A,B间的距离为302米,则该月牙潭的面积为平方米.?

答案:450

解析:如图是内堤岸圆弧所在圆,

由题意OA=OB=30,AB=302,所以OA⊥OB,

弦AB上方弓形面积为S2=14π×302-

所以所求面积为S=12π×(152)2-S

创新应用组

11.(江西赣州一模)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5,8,…为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的高为()

A.132 B.1315

答案:B

解析:由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,

即接下来的圆弧对应的圆的半径是5+8=13,对应的弧长是l=2π×13×

设圆锥底面半径为r,则2πr=13π2,解得r=13

所以圆锥的高为h=1

12.(广西