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Page40
第1讲三角函数的图象与性质
书目
第一部分:学问强化
其次部分:重难点题型突破
突破一:三角函数的周期性
突破二:三角函数的奇偶性
突破三:三角函数的对称性
突破四:三角函数图象变换
突破五:依据图象求解析式
突破六:五点法作图问题
突破七:和三角函数有关的零点问题
第三部分:冲刺重难点特训
第一部分:学问强化
1、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数
()
()
()
周期
2、三角函数的奇偶性
三角函数
取何值为奇函数
取何值为偶函数
()
()
()
()
()
3、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得,对称中心的横坐标由()解得;
(2)函数的图象的对称轴由()解得,对称中心的横坐标由()解得;
(3)函数的图象的对称中心由)解得.
4、由的图象变换得到(,)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移
5、依据图象求的解析式
求解析式
求法
方法一:代数法方法二:读图法表示平衡位置;表示振幅
求法
方法一:图中读出周期,利用求解;
方法二:若无法读出周期,运用特别点代入解析式但需留意依据详细题意取舍答案.
求法
方法一:将最高(低)点代入求解;
方法二:若无最高(低)点,可运用其他特别点代入求解;但需留意依据详细题意取舍答案.
6、五点法作图
五点法步骤
③
①
②
对于复合函数,
第一步:将看做一个整体,用五点法作图列表时,分别令等于,,,,,对应的则取,,,,。,(如上表中,先列出序号①②两行)
其次步:逆向解出(如上表中,序号③行。)
第三步:得到五个关键点为:,,,,
其次部分:重难点题型突破
突破一:三角函数的周期性
1.(2024·广西桂林·模拟预料(文))函数的最小正周期是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】,
因为,
所以的最小正周期为.
故选:D.
2.(2024·陕西咸阳·二模(理))下列四个函数,以为最小正周期,且在区间上单调递减的是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】最小正周期为,在区间上单调递减;
最小正周期为,在区间上单调递减;
最小正周期为,在区间上单调递增;
最小正周期为,在区间上单调递增;
故选:A.
3.(2024·辽宁沈阳·三模)函数的最小正周期为________.
【答案】6
【详解】的周期为,由正弦型函数图象与性质可知,
的最小正周期为6.
故答案为:6
4.(2024·上海·模拟预料)函数的周期为___________;
【答案】
【详解】,
所以的周期为:
故答案为:.
5.(多选)(2024·北京东城·三模)下列函数中最小正周期不是的周期函数为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:对于A选项,不为周期函数;
对于B选项,的图像是将图像在轴下方的翻到轴上方,进而函数为周期函数,周期是,故正确;
对于C选项,,故周期为;
对于D选项,图像是将图像在轴下方的翻到轴上方,其周期性不变,故依旧为,正确;
故选:C
突破二:三角函数的奇偶性
1.(2024·广西·模拟预料(理))若将函数的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则的最小值是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】,向右平移个单位后得到函数,由于是奇函数,因此,得,.又,则当时,的最小值是,
故选:B.
2.(2024·四川德阳·三模(理))将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象对应函数为奇函数,则m的最小值是___________.
【答案】
【详解】由,向左平移个单位,得到的图象,
∴函数为奇函数,
∴
所以,即,
所以的最小值是.
故答案为:.
3.(2024·山东聊城·一模)若为奇函数,则___________.(填写符合要求的一个值)
【答案】(答案不唯一,符合题意均可)
【详解】解:,
因为为奇函数,且为奇函数,为偶函数,
所以,即,
所以或,,
所以的值可以是,
故答案为:(答案不唯一,符合题意均可)
4.(2024·四川泸州·三模(文))下列函数中,定义域为R且周期为π的偶函数是(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】对于A、C、D三个选项视察得函数定义域都为,即定义域关于原点对称;
对于B选项定义域为,所以解除B;
对于A:
的周期为π
又
是奇函数,所以解除A;
对于C:
的周期为π
又
是偶函数,所以C正确;
对于D:的周期为
所以解除D;
故选:C.
5.(2024·北京·北师大试验中学模拟预料)将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.若函数的图象关于原点对称,则的一个取值为_________.
【答案】
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,
可得,由函数的图象关于原点对称,
可得,
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