北师版高考理科数学一轮总复习课时练习题 第8章 立体几何 空间向量及其运算.docVIP

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课时规范练43空间向量及其运算

基础巩固组

1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:B

解析:当非零向量a,b,c共面时,{a,b,c}不能是空间的一个基底;若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面,所以a,b,c一定是非零向量.因此p是q的必要不充分条件.

2.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为()

A.5π6 B.2π3

答案:D

解析:∵a·b=x+2=3,∴x=1,∴b=(1,1,2),∴cosa,b=a·b|a||b

3.(陕西宝鸡渭滨模拟)已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA=23

A.13 B.-13 C

答案:B

解析:PA=23PB-xPC+16

由题意,需12-x+16

4.(天津西青模拟)设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(3,-6,3),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()

A.10 B.3 C.4 D.2

答案:B

解析:因为a⊥c,所以3x-6+3=0,解得x=1,所以a=(1,1,1).因为b∥c,所以13=y

5.(安徽六安一中月考)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则a与b的夹角为()

A.π6 B.π4

答案:C

解析:设a与b的夹角为θ.由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cosθ+4=7,解得cosθ=12,又θ∈[0,π],所以θ=

6.已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·

A.a2 B.12a2 C.14a2

答案:C

解析:此空间四边形是一个正四面体,所以AE·AF=12(AB+AC)·12

7.(浙江镇海中学模拟)已知空间三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量PA与

A.1 B.2 C.-1 D.-2

答案:B

解析:∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),

∴PA=(-2-m,-m,8-m),PB

由题意有cos60°=PA·

即3m2-

整理得m2-4m+4=0,解得m=2.

8.(山东菏泽一中月考)已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,AM=2MB,MG=GC,OG=xOA+yOB+z

答案:15

解析:空间四边形OABC为正四面体,

OG=OM+MG=OA+23

又OA·

|OG|2=OG2=16OA+13OB+12OC

所以|OG|=5.

9.如图,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点,且OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,

(1)A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面;

(2)AC∥

(3)OG=kOC

证明:(1)∵AC=AD+mAB

∵EG=EH+mEF

(2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(

=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,

∴

(3)OG=OE+EG=kOA+kAC

综合提升组

10.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是.?

答案:77

解析:设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).

由AP=2PB,得点P坐标为-13,83,

11.(浙江宁波镇海中学月考)已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD,M,N分别为线段AB,CD上的点,满足AM=13AB,DN=14DC,点G在线段MN上,且满足MG=2GN,若

答案:7

解析:AG=AM+

故AG=AM+MG=13AB+23AN

因为AB,

故x=19,y=16,z=

所以x+y+z=7

12.(山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为.?

答案:(-∞,-2)∪-2,75

解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),

所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-40,解得k7

若ka+b与2a-b反向,则ka+b=λ(2a-b),λ0,

则k=2

所以若ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k75

综上,k的取值范围是(-∞,-2)∪-2,75.

13.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面