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2023-2024学年河南省正阳县第一高级中学高三第三次诊断考试数学试题（文、理）试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

2．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（）

A． B． C． D．

3．执行如下的程序框图，则输出的是（）

A． B．

C． D．

4．函数的图象大致为（）

A． B．

C． D．

5．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）

A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数

7．方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（）

A． B． C． D．

8．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为()

A． B．

C． D．

9．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）

A． B． C． D．1

10．定义，已知函数，，则函数的最小值为（）

A． B． C． D．

11．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

12．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）.

14．设为偶函数，且当时，；当时，．关于函数的零点，有下列三个命题：

①当时，存在实数m，使函数恰有5个不同的零点；

②若，函数的零点不超过4个，则；

③对，，函数恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．

其中，正确命题的序号是_______．

15．的展开式中，项的系数是__________．

16．的展开式中，的系数是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

18．（12分）在中，角所对的边分别为，若，，，且.

（1）求角的值；

（2）求的最大值.

19．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.

20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若点P的极坐标为，，求的值.

21．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

22．（10分）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.

【详解】

由，，可知平面．

将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．

由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记的外心为，由为等边三角形，

可得．又，故在中，，

此即为外接球半径，