第2章-解析函数习题课.pptVIP

第二章解析函数习题课

一、知识点复习

1解析函数的概念与柯西-黎曼方程

1)复变函数的导数与微分；

2)解析函数及其简单性质；

3)柯西-黎曼方程。

熟练掌握

可导与连续，可导与可微，可导与解析的关系；

导数与解析的性质，导数的运算法则；

判定函数可导与解析的方法（定义、C—R方程），

用C—R关系计算函数的导数。

§2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程

1复变函数的导数与微分

1.1复变函数导数的定义：

函数

定义1:wf(z),zD;z0,z0zD

wf(zz)f(z)

极限limlim00

z0zz0z

存在,则说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的

dw

导数，记作f(z)或.

0dz

zz0

应该注意：上述定义中z0的方式是任意的。

如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.

1.2可导与连续的关系

若函数wf(z在)点z0处可导，则f(z在)点

z0处必连续.

复变函数的导数具有与实变函数同样的求导法则。

•复变函数的求导法则（以下出现的函数均假

设可导）：

（1）(C)0,其中C为复常数；

（2）（zn）nzn1,其中n为正整数；



（3）f(z)g(z)f(z)g(z)；

；

（4）f(z)g(z)f(z)g(z)f(z)g(z)



f(z)f(z)g(z)f(z)g(z)

（5）(g(z)0)

g(z)[g(z)]2

（6）{f[(z)]}f(w)(z),其中w(z)；

1

（7）f(z)，其中wf(z)和z(w)

(w)

是两个互为反函数的单值函数，且（w）0

.

.

1.3复变函数的微分

定理：f在点z0处可微的充要条件是：f在点z0处

可导，且可微定义中的Af(z0)。

•当f(z)z时，dw=dzz，所以f(z)在点

z0处的微分又可记为

dwf(z0)dz

zz0

•亦即

dw

f(z)

dz0

zz0

•由此可知，函数wf(z)在点z0处可导与可

微是等价的.

2.解析函数的概念

定义在的某邻域内可导.

f(z)在z0解析：f(z)z0

否则称为奇点。

z0称为解析点，

f(z)在区域D内解析：f